私はこれがうまくいくと信じています。

jQuery("#firmos").html($(this).val());

ドキュメント準備完了関数では、次のようになります。

jQuery(function() {  
  jQuery('#list4').jqDropDown({ 
    optionChanged: function(){
      jQuery("#firmos").html($(this).val());
    }, 
    direction: 'up', 
    defaultStyle: false, 
    containerName: 'theContainer', 
    toggleBtnName: 'awesomeToggleClass', 
    optionListName: 'thisListIsRocking', 
    effect: 'fade', 
    effectSpeed: 300 
  });
}); 

編集済み

実際、別の要素でオプションを再表示したい場合、このコントロールにはプレースホルダーと呼ばれるパラメーターがあります

あなたはこれを行うことができます。

jQuery(function() {  
  jQuery('#list4').jqDropDown({ 
    placeholder: '#firmos',
    direction: 'up', 
    defaultStyle: false, 
    containerName: 'theContainer', 
    toggleBtnName: 'awesomeToggleClass', 
    optionListName: 'thisListIsRocking', 
    effect: 'fade', 
    effectSpeed: 300 
  });
});

再編集

カスタム値が必要な場合は、次のようなことができます

jQuery(function() {  
  jQuery('#list4').jqDropDown({ 
    optionChanged: function(){
      jQuery("#firmos").html((function (currentElement) {
        switch (currentElement.val())
        {
          case "someval":
            return "somethingSpecial1";
            break;
          case "someval2":
            return "somethingSpecial2";
            break;
          /// more case statements.
        }
      })($(this)));
    }, 
    direction: 'up', 
    defaultStyle: false, 
    containerName: 'theContainer', 
    toggleBtnName: 'awesomeToggleClass', 
    optionListName: 'thisListIsRocking', 
    effect: 'fade', 
    effectSpeed: 300 
  });
}); 

ええと、このプラグインは a の要素を複製するだけでselect、list <li>から正確に変更された値を取得することselectはできないようです。あなたの変更時に何か）。DOMonchangetriggerlist

したがって、イベントの再現selectedを実装する価値を得るには、いくつかのトリッキーなことをする必要があるようです。onchange

このような：

ライブデモ: http://jsfiddle.net/oscarj24/nuRKE/

$(function () {

    var firmos = $('#firmos');

    $('#list4').jqDropDown({
        direction: 'up',
        defaultStyle: false,
        containerName: 'theContainer',
        toggleBtnName: 'awesomeToggleClass',
        optionListName: 'thisListIsRocking',
        effect: 'fade',
        effectSpeed: 300
    });

    //This will be your new 'onchange' event when using 'jqDropDown' plugin.
    $('ul .ddOption').on('click', function(e){
        var selected = $.trim($(e.target).text());
        switch (selected)
        {
          case 'Aspen':
            firmos.html('You selected Aspen.');
            break;
          case 'Tokyo':
            firmos.html('You selected Tokyo.');
            break;
          //Do the same for other options.
        }

    });
});