呼び出しは oAuth で行う必要があります。スクリーン ネームで Twitter アプリが承認されていても、プレーンな URL 呼び出しは機能しません。
表示された URL への HTTP GET を作成する必要がありますが、適切な形式の認証ヘッダー (oAuth) を使用します。
これは事実上、「Authorization」のキーと次のような生成された値を持つ Web 要求ヘッダーです。
OAuth realm="<name of realm, e.g. Twitter API>",
oauth_consumer_key="<your app key, you'll know this already from your twitter app>",
oauth_nonce="<this is basically a random alphanumeric string which your app should generate>",
oauth_timestamp="<number of seconds since 1/1/1970 00:00:00",
oauth_signature_method="HMAC-SHA1",
oauth_version="1.0",
oauth_signature="<this is the trickiest part, you basically have to hash the request + two secret params through a signing algorithm using the signature method above>"
詳細については、こちらを参照してください:
https://dev.twitter.com/docs/auth/authorizing-request