質問で提供したコマンドは、私にとってはうまくいきます(ほとんどの場合)。
Firebug をトリガーしようとする前に、WebView がドキュメントをロードするまで待っていない可能性があります。
たとえば、次のコードは Firebug Lite を起動します (JavaFX 8b103、OS X 10.8)。
import javafx.application.Application;
import javafx.beans.value.ChangeListener;
import javafx.beans.value.ObservableValue;
import javafx.scene.Scene;
import javafx.scene.web.WebEngine;
import javafx.scene.web.WebView;
import javafx.stage.Stage;
import org.w3c.dom.Document;
public class WebViewWithDebugger extends Application {
public static void main(String[] args) { launch(args); }
@Override public void start(Stage primaryStage) {
final WebView webView = new WebView();
final WebEngine engine = webView.getEngine();
engine.load("http://docs.oracle.com/javafx/2/get_started/animation.htm");
engine.documentProperty().addListener(new ChangeListener<Document>() {
@Override public void changed(ObservableValue<? extends Document> prop, Document oldDoc, Document newDoc) {
enableFirebug(engine);
}
});
primaryStage.setScene(new Scene(webView));
primaryStage.show();
}
/**
* Enables Firebug Lite for debugging a webEngine.
* @param engine the webEngine for which debugging is to be enabled.
*/
private static void enableFirebug(final WebEngine engine) {
engine.executeScript("if (!document.getElementById('FirebugLite')){E = document['createElement' + 'NS'] && document.documentElement.namespaceURI;E = E ? document['createElement' + 'NS'](E, 'script') : document['createElement']('script');E['setAttribute']('id', 'FirebugLite');E['setAttribute']('src', 'https://getfirebug.com/' + 'firebug-lite.js' + '#startOpened');E['setAttribute']('FirebugLite', '4');(document['getElementsByTagName']('head')[0] || document['getElementsByTagName']('body')[0]).appendChild(E);E = new Image;E['setAttribute']('src', 'https://getfirebug.com/' + '#startOpened');}");
}
}

Firebug Lite 自体は、Web ページのデバッグに特に優れているようには見えません (少なくとも WebView では)。コンソール、html、css、および dom パネルは、検査オプションと同様に問題ないように見えました。そこで、役立つ情報をいくつか。スクリプト部分にはスクリプトが表示されていましたが、スクリプトにブレークポイントやウォッチなどを設定する方法は見当たりませんでした。