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Mathematica で画像またはセットのフラクタル次元を決定するための標準的なボックス カウント アルゴリズムの実装を作成し、それを検証しようとしています。CellularAutomaton 関数を使用してシェルピンスキー三角形行列を生成し、そのフラクタル次元を 1.58496 と計算し、統計誤差は約 10^-15 でした。これは、log(3)/log(2) = 1.58496 の期待値と非常によく一致します。

ランダムに生成された行列に対してアルゴリズムをテストしようとすると、問題が発生します。この場合のフラクタル次元は正確に 2 になるはずですが、約 1.994 になり、統計誤差は約 0.004 になります。したがって、私のボックス カウント アルゴリズムは、シェルピンスキーの三角形に対しては完全にうまく機能しているように見えますが、ランダム分布に対してはそれほどうまく機能していないようです。アイデアはありますか？

以下のコード:

sierpinski512 = CellularAutomaton[90, {{1}, 0}, 512];
ArrayPlot[%]
d512 = FractalDimension[sierpinski512, {512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2}]

rtable = Table[Round[RandomReal[]], {i, 1, 512}, {j, 1, 1024}];
ArrayPlot[%]
drand = FractalDimension[rtable, {512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2}]

誰かが本当にそれを必要とするなら、私は FractalDimension コードを投稿できますが、解決策 (もしあれば) は FractalDimension アルゴリズムではなく、上で生成している rtable に関係していると思います。

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私は有名な物理学者と相談してこの問題を少し経験的に研究しました.ランダムポイントプロセスのフラクタル次元は、ポイントの数が大きくなるにつれて2になると信じています. 「大規模」の正確な定義を提供することはできませんが、数千ポイント未満になることはありません。したがって、ポイントの数が非常に多く、理論的には平面を並べるのに十分な大きさでない限り、D < 2 になると予想する必要があると思います。

あなたの FractalDimension コードに感謝します!

于 2014-01-08T22:00:42.480 に答える