mapping - ユークリシアン 2 空間からポアンカレ ディスクへのポイントのマッピング

Question

どういうわけか、ポアンカレ円盤に関する Web ページを書いている人は皆、線の表現方法と距離の測定方法だけに関心があるようです。

2D ポイント (ユークリッド平面の x、y 座標で定義) のコレクションをポアンカレ ディスクにモーフィングしたいのですが、アルゴリズムがどのようなものになるのかわかりません。この時点では、ユークリッド 2 空間とポアンカレ円板の間のマッピングを作成できるかどうかさえわかりません...

ポインタはありますか？

のれん、デビッド

Answer 1

私がすべてを正しく理解していれば、他のフォーラムであなたが得た答えは、ベルトラミ・クライン モデルに関するものです。それができたら、次のコマンドでポイカレ ディスクの座標に到達できます。

p = b / (1 + sqrt(1 - b * b))

pポアンカレ円盤の座標ベクトル (つまり、必要なもの) はどこにありb、ベルトラミ・クライン モデルの座標ベクトル (つまり、他の答えから得られるもの) はどこにありますか。

Answer 2

データをポイントのコレクションとして記述します。しかし、あなたのコメントから、平面内の線をディスク内の線に引き続きマッピングしたいと考えています。空間の「構造」をどうにか維持したいようで、「モーフィング」という言葉を使っているのでしょう。等角写像が欲しいと思います。

ディスクと平面の間に正角全射はありません。半平面とディスクの間にはこのようなマッピングがあり、「線」は保持されますが、残念ながら、必要な種類ではありません。

「マッピングを作成できるかどうかさえわからない」とあなたは言いました...選択できるマッピングはたくさんありますが (例については、ユニット ディスクのページを参照してください)、すべての機能を備えたものはありません。したいようです。