これに似た問題は、約 20 年頃に始まる近似セクションで解決されます。Bill Gosper の 連分数算術ドキュメントの 28 ページ。(参照:追記ファイル。1984行からのテキスト バージョンも参照してください。) 一般的な考え方は、2 つの分数が異なるまで、下限と上限の範囲制限数の連分数近似を計算し、値を選択することです。これら 2 つの近似値の範囲内です。これは、Gosper の用語を使用して、最も単純な分数を与えることが保証されています。
以下の python コード (プログラム「simpleden」) は、同様のプロセスを実装しています。(おそらく Gosper の提案した実装ほど良くはありませんが、メソッドが生成する結果の種類を確認するには十分です。) 実行される作業量は、Euclid のアルゴリズムの場合と同様です。 nビットであるため、プログラムはかなり高速です。テスト ケースの例 (プログラムの出力) は、コード自体の後に示されています。simpleratio(vlo, vhi)vhi が vlo より小さい場合、ここに示す関数は -1 を返すことに注意してください。
#!/usr/bin/env python
def simpleratio(vlo, vhi):
rlo, rhi, eps = vlo, vhi, 0.0000001
if vhi < vlo: return -1
num = denp = 1
nump = den = 0
while 1:
klo, khi = int(rlo), int(rhi)
if klo != khi or rlo-klo < eps or rhi-khi < eps:
tlo = denp + klo * den
thi = denp + khi * den
if tlo < thi:
return tlo + (rlo-klo > eps)*den
elif thi < tlo:
return thi + (rhi-khi > eps)*den
else:
return tlo
nump, num = num, nump + klo * num
denp, den = den, denp + klo * den
rlo, rhi = 1/(rlo-klo), 1/(rhi-khi)
def test(vlo, vhi):
den = simpleratio(vlo, vhi);
fden = float(den)
ilo, ihi = int(vlo*den), int(vhi*den)
rlo, rhi = ilo/fden, ihi/fden;
izok = 'ok' if rlo <= vlo <= rhi <= vhi else 'wrong'
print '{:4d}/{:4d} = {:0.8f} vlo:{:0.8f} {:4d}/{:4d} = {:0.8f} vhi:{:0.8f} {}'.format(ilo,den,rlo,vlo, ihi,den,rhi,vhi, izok)
test (0.685, 0.695)
test (0.685, 0.7)
test (0.685, 0.71)
test (0.685, 0.75)
test (0.685, 0.76)
test (0.75, 0.76)
test (2.173, 2.177)
test (2.373, 2.377)
test (3.484, 3.487)
test (4.0, 4.87)
test (4.0, 8.0)
test (5.5, 5.6)
test (5.5, 6.5)
test (7.5, 7.3)
test (7.5, 7.5)
test (8.534537, 8.534538)
test (9.343221, 9.343222)
プログラムからの出力:
> ./simpleden
8/ 13 = 0.61538462 vlo:0.68500000 9/ 13 = 0.69230769 vhi:0.69500000 ok
6/ 10 = 0.60000000 vlo:0.68500000 7/ 10 = 0.70000000 vhi:0.70000000 ok
6/ 10 = 0.60000000 vlo:0.68500000 7/ 10 = 0.70000000 vhi:0.71000000 ok
2/ 4 = 0.50000000 vlo:0.68500000 3/ 4 = 0.75000000 vhi:0.75000000 ok
2/ 4 = 0.50000000 vlo:0.68500000 3/ 4 = 0.75000000 vhi:0.76000000 ok
3/ 4 = 0.75000000 vlo:0.75000000 3/ 4 = 0.75000000 vhi:0.76000000 ok
36/ 17 = 2.11764706 vlo:2.17300000 37/ 17 = 2.17647059 vhi:2.17700000 ok
18/ 8 = 2.25000000 vlo:2.37300000 19/ 8 = 2.37500000 vhi:2.37700000 ok
114/ 33 = 3.45454545 vlo:3.48400000 115/ 33 = 3.48484848 vhi:3.48700000 ok
4/ 1 = 4.00000000 vlo:4.00000000 4/ 1 = 4.00000000 vhi:4.87000000 ok
4/ 1 = 4.00000000 vlo:4.00000000 8/ 1 = 8.00000000 vhi:8.00000000 ok
11/ 2 = 5.50000000 vlo:5.50000000 11/ 2 = 5.50000000 vhi:5.60000000 ok
5/ 1 = 5.00000000 vlo:5.50000000 6/ 1 = 6.00000000 vhi:6.50000000 ok
-7/ -1 = 7.00000000 vlo:7.50000000 -7/ -1 = 7.00000000 vhi:7.30000000 wrong
15/ 2 = 7.50000000 vlo:7.50000000 15/ 2 = 7.50000000 vhi:7.50000000 ok
8030/ 941 = 8.53347503 vlo:8.53453700 8031/ 941 = 8.53453773 vhi:8.53453800 ok
24880/2663 = 9.34284641 vlo:9.34322100 24881/2663 = 9.34322193 vhi:9.34322200 ok
範囲内の最も単純な分数ではなく、分母のサイズの上限を考慮して最適な近似値を求める場合は、def test(vlo, vhi)前方のすべてのコードを置き換える次のようなコードを検討してください。
def smallden(target, maxden):
global pas
pas = 0
tol = 1/float(maxden)**2
while 1:
den = simpleratio(target-tol, target+tol);
if den <= maxden: return den
tol *= 2
pas += 1
# Test driver for smallden(target, maxden) routine
import random
totalpass, trials, passes = 0, 20, [0 for i in range(20)]
print 'Maxden Num Den Num/Den Target Error Passes'
for i in range(trials):
target = random.random()
maxden = 10 + round(10000*random.random())
den = smallden(target, maxden)
num = int(round(target*den))
got = float(num)/den
print '{:4d} {:4d}/{:4d} = {:10.8f} = {:10.8f} + {:12.9f} {:2}'.format(
int(maxden), num, den, got, target, got - target, pas)
totalpass += pas
passes[pas-1] += 1
print 'Average pass count: {:0.3}\nPass histo: {}'.format(
float(totalpass)/trials, passes)
プロダクション コードでは、pas(etc.) へのすべての参照を削除します。つまり、パス カウント コードを削除します。
ルーチンsmalldenには、許容される分母の目標値と最大値が与えられます。maxden分母の可能な選択が与えられた場合、 のオーダーの許容誤差を1/maxden²達成できると仮定するのは合理的です。次の典型的な出力に示されているパス カウント (ここでtarget、 とmaxdenは乱数によって設定されています) は、半分以上の時間でそのような許容値にすぐに達したことを示していますが、他のケースでは 2 倍、4 倍、または 8 倍の許容値が使用されたため、への余分な呼び出しsimpleratio。10000 回のテスト実行からの出力の最後の 2 行が、20 回のテスト実行の完全な出力の後に表示されていることに注意してください。
Maxden Num Den Num/Den Target Error Passes
1198 32/ 509 = 0.06286837 = 0.06286798 + 0.000000392 1
2136 115/ 427 = 0.26932084 = 0.26932103 + -0.000000185 1
4257 839/2670 = 0.31423221 = 0.31423223 + -0.000000025 1
2680 449/ 509 = 0.88212181 = 0.88212132 + 0.000000486 3
2935 440/1853 = 0.23745278 = 0.23745287 + -0.000000095 1
6128 347/1285 = 0.27003891 = 0.27003899 + -0.000000077 3
8041 1780/4243 = 0.41951449 = 0.41951447 + 0.000000020 2
7637 3926/7127 = 0.55086292 = 0.55086293 + -0.000000010 1
3422 27/ 469 = 0.05756930 = 0.05756918 + 0.000000113 2
1616 168/1507 = 0.11147976 = 0.11147982 + -0.000000061 1
260 62/ 123 = 0.50406504 = 0.50406378 + 0.000001264 1
3775 52/3327 = 0.01562970 = 0.01562750 + 0.000002195 6
233 6/ 13 = 0.46153846 = 0.46172772 + -0.000189254 5
3650 3151/3514 = 0.89669892 = 0.89669890 + 0.000000020 1
9307 2943/7528 = 0.39094049 = 0.39094048 + 0.000000013 2
962 206/ 225 = 0.91555556 = 0.91555496 + 0.000000594 1
2080 564/1975 = 0.28556962 = 0.28556943 + 0.000000190 1
6505 1971/2347 = 0.83979548 = 0.83979551 + -0.000000022 1
1944 472/ 833 = 0.56662665 = 0.56662696 + -0.000000305 2
3244 291/1447 = 0.20110574 = 0.20110579 + -0.000000051 1
Average pass count: 1.85
Pass histo: [12, 4, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
10000 回のテスト実行からの出力の最後の 2 行:
Average pass count: 1.77
Pass histo: [56659, 25227, 10020, 4146, 2072, 931, 497, 233, 125, 39, 33, 17, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]