graphics - 2 つのライン間の最短距離

Question

L1 と L2 が 3D の 2 つの線であると仮定し、P1 と P2 がそれぞれ L1、L2 上の 2 つの点であると仮定します。距離 (P2-P1) が L1 と L2 の間の最短距離となるようにします。ベクトル (P2-P1) は L1 と L2 の両方に垂直である必要がありますか? もしそうなら、なぜですか？2次元空間もそうですか？

Answer 1

はい、そうです。L1 と L2 の両方に垂直なこの線を想像してください。L1 と L2 が平行である場合が 2 つあります (この場合、2 つの間のすべての垂直線は等価です。または、同じシャフトに異なる角度で取り付けられた 2 つのプロペラのようなものです。シャフト (これは、両方のプロペラに垂直)、最短距離を表します。これは、どちらのプロペラに沿ってシャフトから離れる方向に移動しても、距離が明らかに増加しているためです。シャフト自体に等しく、反対側はプロペラに沿った動きに等しくなります。

両方のプロペラに沿って移動すると、明らかに、シャフトから反対方向に離れると、距離が伸びます。プロペラがほぼ一直線に並んでいて、両方のプロペラに沿って同じ方向に移動したとしても、2 つの点を結ぶ線は再び直角三角形の斜辺になります。ここで、1 辺は 2 つのプロペラの回転平面間の距離です。もう一方の側は、2 つのプロペラのうちの 1 つの回転面の線です。

Answer 2

関数 L1×L2->\R を取ると、L1 と L2 上の 2 点 P と Q について、それらの間の距離の 2 乗がそれぞれ得られます。

f: L1×L2 -> \R
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P)

ここ(Q - P)で、 はベクトルで .、スカラー積です。関数 f は (P1, P2) で最小になるため、微分 df/dP と df/dQ は (P1, P2) でゼロになります。さらに:

df/dP = dP . (Q - P)
df/dQ = dQ . (Q - P)

微分がゼロである (P1, P2) のこれらの方程式を評価すると、次のようになります。

DP。(P2 - P1) = 0 dQ . (P2 - P1) = 0

dPおよびdQは、それぞれ L1 および L2 と共線のベクトルです。これらの 2 つの方程式は、必然的に、ベクトルP2 - P1が L1 と L2 の方向ベクトルに垂直であることを示しています。