itertools.groupbyを利用できます:
from itertools import groupby
from operator import itemgetter
from pprint import pprint
data = [ {
           'Organization' : '123 Solar',
           'Phone' : '444-444-4444',
           'Email' : '',
           'website' : 'www.123solar.com'
         }, {
           'Organization' : '123 Solar',
           'Phone' : '',
           'Email' : 'joey@123solar.com',
           'Website' : 'www.123solar.com'
         },
         {
           'Organization' : '234 test',
           'Phone' : '111',
           'Email' : 'a@123solar.com',
           'Website' : 'b.123solar.com'
         },
         {
           'Organization' : '234 test',
           'Phone' : '222',
           'Email' : 'ac@123solar.com',
           'Website' : 'bd.123solar.com'
         }]
data = sorted(data, key=itemgetter('Organization'))
result = {}
for key, group in groupby(data, key=itemgetter('Organization')):
    result[key] = [item for item in group]
pprint(result)
プリント:
{'123 Solar': [{'Email': '',
                'Organization': '123 Solar',
                'Phone': '444-444-4444',
                'website': 'www.123solar.com'},
               {'Email': 'joey@123solar.com',
                'Organization': '123 Solar',
                'Phone': '',
                'Website': 'www.123solar.com'}],
 '234 test': [{'Email': 'a@123solar.com',
               'Organization': '234 test',
               'Phone': '111',
               'Website': 'b.123solar.com'},
              {'Email': 'ac@123solar.com',
               'Organization': '234 test',
               'Phone': '222',
               'Website': 'bd.123solar.com'}]}
更新:
アイテムを単一の辞書にグループ化するためにできることは次のとおりです。
for key, group in groupby(data, key=itemgetter('Organization')):
    result[key] = {'Phone': [],
                   'Email': [],
                   'Website': []}
    for item in group:
        result[key]['Phone'].append(item['Phone'])
        result[key]['Email'].append(item['Email'])
        result[key]['Website'].append(item['Website'])
次に、次のようになりresultます。
{'123 Solar': {'Email': ['', 'joey@123solar.com'],
               'Phone': ['444-444-4444', ''],
               'Website': ['www.123solar.com', 'www.123solar.com']},
 '234 test': {'Email': ['a@123solar.com', 'ac@123solar.com'],
              'Phone': ['111', '222'],
              'Website': ['b.123solar.com', 'bd.123solar.com']}}