bash - $PATH 内のすべてのディレクトリを find または ls コマンドで検索するスクリプトを書きたい

Question

ここの完全な初心者。$PATH 内のすべてのディレクトリに対して find または ls コマンドを実行できるようにする bash スクリプトを作成したいと考えています。$PATH から返されたすべてのディレクトリに対して、検索文字列を取得し、find または ls (どちらが優れているかはわかりません) を実行する必要があります。ありがとう！

私がこれまでに持っているもの：

arr=$(echo $PATH | tr ":" "\n")

echo -n "SEARCH STRING:"
read STRING

for x in $arr
do
    find /"$x" -iname "$STRING"
done