ブートストラップのdatetimepicker(ここからダウンロード)から日付を選択した後、テキストボックスを自動的にポストバックできないようです。イベントをトリガーするには、Enterキーを押す必要があります。
<div class="span3">Date<br />
<div id="datepicker" class="input-append date">
<asp:TextBox ID="txtDate" runat="server" OnTextChanged="txtDate_TextChanged" AutoPostBack="true" />
<span class="add-on">
<i data-time-icon="icon-time" data-date-icon="icon-calendar"></i>
</span>
</div>
</div>