Game.any_in({:array => /#{searchT}/i})
これsearchTは変数なので、配列フィールドに配列値があるとしましょう
["test", "something", "i", "go here"]
検索する文字列は"Hi my name would go here"
配列要素が mongoid を使用して ruby の検索文字列の部分文字列であるかどうかを確認する必要があります。
文字列を分割することを考えていましたが、簡単な正規表現の方法があると思います。