そもそもこれを間違っているのでしょうか、それとも文字列を int に変換して月の部分を見つけるために必要なことに気付いていないのでしょうか?
import javax.swing.JOptionPane;
import java.util.Scanner;
public class GoodDateBook
{
public static void main(String[]args)
{
Scanner kybd = new Scanner(System.in);
String allInput = JOptionPane.showInputDialog("Enter a date in the form mm/dd/yyyy");
String monthDayYear = kybd.nextLine();
int month2 = monthDayYear.indexOf("/");
int month = ?