floating-point - マシン イプシロン、ε: 1 から次に小さい値へのステップとは?

Question

マシン イプシロン ε は、「1 と、与えられた浮動小数点型で表現可能な 1 より大きい最小値との差」であることがわかっています。¹

ただし、定義は次に小さい値については何も述べていません。1 と次に小さい値の違いは何ですか?

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ノート

¹ ISO/IEC C 2011 規格、セクション 5.2.4.2.2、パラグラフ 13 (浮動小数点については正式なものではありませんが、マシン イプシロンの一般的な記述の一例)。

Answer 1

いいえ。

1-ε/2 は 1 より小さい最大の数です。1+ε は 1 より大きい最小の数です。

正規化された浮動小数点数の仮数は、常に [1,2) の範囲にあります。したがって、範囲 [0.5,1) の数値を表すには、指数は -1 で、LSB はその半分の大きさです。

したがって、バイナリでは、1 + ε は次のようになります。

1 + ε = 1.000...0001 ⨯ 2 ⁰

ε の定義と一致する 1 と 1 + ε の間には数が存在しないことがわかります。

しかし、1 - ε は次のようなものです。

1 - ε = 1.111...1110 ⨯ 2 ^-1

したがって、1 - ε と 1 の間には、1 - ε/2 という数が 1 つだけ存在します。