これを試して

<select name="the_name">
<?php foreach($array as $option) : ?>
        <option value="<?php echo $option['Name']; ?>"><?php echo $option['Name']; ?></option>
<?php endforeach; ?>
</select>

クエリが実行された後、whileループを使用して選択するオプションを追加します

$query = $mysqli->query("select distinct bname as Name from kjv limit 1"); ?>

<select>
    <?php while($option = $query->fetch_object()){ ?>
        <option><?php echo $option->Name; ?></option>
    <?php } ?>
</select>

array_pop がコードで何をしているのかわからない

<select name="the_name">
<?php foreach($array as $option) : ?>
        <option value="<?php echo $option->Name; ?>"></option>
<?php endforeach; ?>
</select>

<select>タグを何度も作成する方法でループを終了しました。変更して、もう一度やり直してください。よくわかりませんが.php、ドロップダウン ボックスの表示に問題がある可能性があります。