将来これに出くわす可能性のある人のために、これに対する解決策を見つけました。画面を表示するアクティビティを作成し、アクティビティ クラスに以下を追加します。
public class DialogActivity extends Activity
{
/**
* Tag for this class to be used when logging.
*/
public static final String TAG = "DialogActivity";
public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
{
super.onCreate(savedInstanceState);
// Set the window to always display on the forefront and to be opened when locked
Window oWindow = this.getWindow();
oWindow.addFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_TURN_SCREEN_ON
+ WindowManager.LayoutParams.FLAG_SHOW_WHEN_LOCKED
+ WindowManager.LayoutParams.FLAG_KEEP_SCREEN_ON);
// Set our layout
this.setContentView(R.layout.activity_dialog);
これは望ましい効果があるようです。アクティビティのテーマを全画面表示に設定すると、着信音にさらに似たエクスペリエンスを作成するのにも役立ちます。