javascript を使用して、選択したオプションのインデックス/値を取得し、そこから処理することができます。

selectBox = document.getElementById("select_field");
currentIndex = selectBox.selectedIndex;
currentValue = selectBox[currentIndex].value;
//Continue processing as you need

必要に応じて、ユーザーが現在選択しているオプションのインデックス値と「値」属性の内容を提供します。

余談ですが、あなたのコードは SQL インジェクション攻撃の影響を受けやすく、これが新しいプロジェクトである場合は、通常の mysql_* 関数セットよりも MySQLi ライブラリを使用することを検討する必要があります。それらはもはやサポートされておらず、同様に非推奨になっていると思います。

HTML を次のように変更します。

<select name="select_menu" id="select_field">
    <option value="select_one">Please Select One</option>
    <option value="search_between_dates">Search Between Two Dates</option>
</select>
<input type="text" name="date" id="dpd1" class="dpd1">
<input type="text" name="date2" id="dpd2" class="hidden">
<div id="select_feed"></div>

次に、jquery を使用して 2 番目の入力を表示できます。

$( document ).ready( function() {
  $('#select_field').change(function() {
    if ($('#select_field').val() == "search_between_dates") {
      $('#dpd2').show();
    }
  });
});

注: コードを実際にテストしていないため、微妙な構文エラーが隠されている可能性があります。