以下に示すように、web.configファイルにアプリケーション名を設定してSqlMembershipProviderとSimpleMembershipProviderを使用してみました。新しいアカウントを登録してログインすることはできますが、アプリケーション名がデータベース テーブル aspnet_Applications に保存されません。
<roleManager enabled="true" defaultProvider="SqlRoleProvider">
<providers >
<clear />
<add name="SqlRoleProvider"
type="System.Web.Security.SqlRoleProvider"
connectionStringName="DefaultConnection"
applicationName="BasicCloudProject" />
</providers>
</roleManager>
<membership defaultProvider="SimpleMembershipProvider" >
<providers>
<clear />
<add
name="SimpleMembershipProvider"
type="WebMatrix.WebData.SimpleMembershipProvider, WebMatrix.WebData"
connectionStringName="DefaultConnection"
applicationName="BasicCloudProject"
/>
</providers>
</membership>
aspnet_regsql.exe に従ってテーブルを持つ MS SQL データベースを使用して、Azure プロジェクトに MVC4 Web ロールを設定しました。