f(x,y) と g(x,y) の 2 つの方程式を必要とする他の問題の解決策として、「from scipy.optimize import root」に由来する root 関数を使用してきましたが、これまでのところ、今までの障害は見つかりませんでした。全体のトピックは潜在的な流れであり、この特定の問題は渦 + 表面上の定常速度に関するものです。次のコードは点 P、(Xp、YP) の座標を見つけることに関するものです。速度はゼロで、表面上に渦 (渦の強度 = -550) があり、この渦は壁の左側にあります。U : 定常速度 cv : 渦の強さ h : 渦と表面の間の距離
import numpy as np
from scipy.optimize import root
from math import pi
cv = -550.0
U = 10.0
h = 18.0
'''
denom1 = (X + h) ** 2 + Y ** 2
denom2 = (X - h) ** 2 + Y ** 2
###########################################
# f(x,y)
###########################################
f_1_a1 = - cv * Y / denom1
f_1_a2 = cv * Y / denom2
# f(x, y)
f_1 = f_1_a1 + f_1_a2
dfx_1 = (- cv * Y) * ((-1) * (2) * (X + h)) / (denom1 ** 2)
dfx_2 = (cv * Y) * ((-1) * (2) * (X - h)) / (denom2 ** 2)
# df_x
d_f_1_x = dfx_1 + dfx_2
dfy_1 = (- cv) / denom1
dfy_2 = (- cv * Y) * (- 1) * (2) * (Y) /(denom1 ** 2)
dfy_3 = (cv) / denom2
dfy_4 = (cv * Y) * (-1) * (2 * Y) /(denom2 ** 2)
# df_y
d_f_1_y = dfy_1 + dfy_2 + dfy_3 + dfy_4
###########################################
# g(x,y)
###########################################
g_a1 = - U
g_a2 = cv * (X + h) / denom1
g_a3 = - cv * (X - h) / denom2
# g(x, y)
f_2 = g_a1 + g_a2 + g_a3
dgx_1 = cv / denom1
dgx_2 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (X + h) / (denom1 ** 2)
dgx_3 = (- cv) / denom2
dgx_4 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2) * (X - h) / denom2
dgx = dgx_1 + dgx_2 + dgx_3 + dgx_3 + dgx_4
# dg_x
d_f_2_x = dgx
dgy_1 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (Y) / (denom1 ** 2)
dgy_2 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2 * Y) / (denom2 ** 2)
dgy = dgy_1 + dgy_2
# dg_y
d_f_2_y = dgy
'''
def Proof(X, Y):
denom1 = (X + h) ** 2 + Y ** 2
denom2 = (X - h) ** 2 + Y ** 2
###########################################
# f(x,y)
###########################################
f_1_a1 = - cv * Y / denom1
f_1_a2 = cv * Y / denom2
# f(x, y)
f_1 = f_1_a1 + f_1_a2
dfx_1 = (- cv * Y) * ((-1) * (2) * (X + h)) / (denom1 ** 2)
dfx_2 = (cv * Y) * ((-1) * (2) * (X - h)) / (denom2 ** 2)
# df_x
d_f_1_x = dfx_1 + dfx_2
dfy_1 = (- cv) / denom1
dfy_2 = (- cv * Y) * (- 1) * (2) * (Y) /(denom1 ** 2)
dfy_3 = (cv) / denom2
dfy_4 = (cv * Y) * (-1) * (2 * Y) /(denom2 ** 2)
# df_y
d_f_1_y = dfy_1 + dfy_2 + dfy_3 + dfy_4
###########################################
# g(x,y)
###########################################
g_a1 = - U
g_a2 = cv * (X + h) / denom1
g_a3 = - cv * (X - h) / denom2
# g(x, y)
f_2 = g_a1 + g_a2 + g_a3
dgx_1 = cv / denom1
dgx_2 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (X + h) / (denom1 ** 2)
dgx_3 = (- cv) / denom2
dgx_4 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2) * (X - h) / denom2
dgx = dgx_1 + dgx_2 + dgx_3 + dgx_3 + dgx_4
# dg_x
d_f_2_x = dgx
dgy_1 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (Y) / (denom1 ** 2)
dgy_2 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2 * Y) / (denom2 ** 2)
dgy = dgy_1 + dgy_2
# dg_y
d_f_2_y = dgy
print "The values of u and v are:"
print f_1
print f_2
print "The derivates are:"
print dgx, dgy
print d_f_1_x, d_f_1_y
def fun_imp1(x):
X = x[0]
Y = x[1]
denom1 = (X + h) ** 2 + Y ** 2
denom2 = (X - h) ** 2 + Y ** 2
###########################################
# f(x,y)
###########################################
f_1_a1 = - cv * Y / denom1
f_1_a2 = cv * Y / denom2
# f(x, y)
f_1 = f_1_a1 + f_1_a2
dfx_1 = (- cv * Y) * ((-1) * (2) * (X + h)) / (denom1 ** 2)
dfx_2 = (cv * Y) * ((-1) * (2) * (X - h)) / (denom2 ** 2)
# df_x
d_f_1_x = dfx_1 + dfx_2
dfy_1 = (- cv) / denom1
dfy_2 = (- cv * Y) * (- 1) * (2) * (Y) /(denom1 ** 2)
dfy_3 = (cv) / denom2
dfy_4 = (cv * Y) * (-1) * (2 * Y) /(denom2 ** 2)
# df_y
d_f_1_y = dfy_1 + dfy_2 + dfy_3 + dfy_4
###########################################
# g(x,y)
###########################################
g_a1 = - U
g_a2 = cv * (X + h) / denom1
g_a3 = - cv * (X - h) / denom2
# g(x, y)
f_2 = g_a1 + g_a2 + g_a3
dgx_1 = cv / denom1
dgx_2 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (X + h) / (denom1 ** 2)
dgx_3 = (- cv) / denom2
dgx_4 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2) * (X - h) / denom2
dgx = dgx_1 + dgx_2 + dgx_3 + dgx_3 + dgx_4
# dg_x
d_f_2_x = dgx
dgy_1 = cv * (X + h) * (-1) * (2) * (Y) / (denom1 ** 2)
dgy_2 = (- cv) * (X - h) * (-1) * (2 * Y) / (denom2 ** 2)
dgy = dgy_1 + dgy_2
# dg_y
d_f_2_y = dgy
a_1 = f_1
a_2 = f_2
b_1 = d_f_1_x
b_2 = d_f_1_y
c_1 = d_f_2_x
c_2 = d_f_2_y
f = [ a_1,
a_2]
df = np.array([[b_1, b_2],
[c_1, c_2]])
return f, df
sol = root(fun_imp1, [ 1, 1], jac = True, method = 'lm')
print "x = ", sol.x
print "x0 =", sol.x[1]
print "y0 =", sol.x[0]
x_1 = sol.x[0]
x_2 = sol.x[1]
Proof(x_1, x_2)
そして、速度のコンポーネントの 1 つだけがゼロであり、プログラムが見つけた結果です。最初はデリバティブの問題かと思いましたが特に問題はありませんでした。私の友人はかつて、渦の強度が高すぎると (150 以上のように) 異なる振る舞いをすることがあると言いました。
追加情報:
これは流線のプロットです:
このコードを使用した後：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
vortex_height = 18.0
h = vortex_height
vortex_intensity = -550.0
cv = vortex_intensity
permanent_speed = 10
U1 = permanent_speed
Y, X = np.mgrid[-21:21:100j, -21:21:100j]
U = (- cv * Y) / ((X + h)**2 + (Y ** 2)) + (cv * Y) / ((X - h)**2 + (Y ** 2))
V = - U1 + (cv * (X + h)) / ((X + h)**2 + (Y ** 2)) - (cv * (X - h)) / ((X - h)**2 + (Y ** 2))
speed = np.sqrt(U*U + V*V)
plt.streamplot(X, Y, U, V, color=U, linewidth=2, cmap=plt.cm.autumn)
plt.colorbar()
plt.savefig("stream_plot.png")
plt.show()
そして、プログラムで得た結果は次のとおりです。
>>>
x = [ 1.32580109e-01 3.98170636e+02]
x0 = 398.170635755
y0 = 0.132580109151
The values of u and v are:
-8.2830922107e-05
-10.1246349802
The derivates are:
-2.20709329055 0.000624761030349
-0.000624761030349 6.22388943399e-07
>>>
u と v は次のようになります。
u = 0.0
v = 0.0
それ以外の ：
u = -8.2830922107e-05 (これは許容範囲です) v = -10.1246349802 (これは絶対に間違っています)
そして、それを「hybr」に変更すると
sol = root(fun_imp1, [ 1, 1], jac = True, method = 'hybr')
私はこれを得る：
>>>
C:\Python27\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py:221: RuntimeWarning: The iteration is not making good progress, as measured by the
improvement from the last ten iterations.
warnings.warn(msg, RuntimeWarning)
x = [ -4.81817071e+02 1.96057929e+06]
x0 = 1960579.2949
y0 = -481.817070593
The values of u and v are:
2.53176901102e-12
-10.0000000052
The derivates are:
-7.14899730857e-05 5.25462578799e-15
-5.25462578799e-15 -3.87401132188e-18
>>>
私は一度似たようなものを手に入れましたが、よく覚えていません。他の場合は、関数を手作業で派生させたことが原因だったと思います。この現在の問題では、その側面に関するエラーを追跡していません。