php - jQuery/Ajax呼び出しから空を返すPHP Cookie

Question

次のように PHP を使用して Cookie を設定するドメイン (example.com) があります。

$source = 123;
setcookie("source", $source, time()+3600, '/', ".example.com");

この Cookie をサブドメイン間で共有したいと考えています。「sub.example.com/index.php」に移動して、次の PHP コードを実行すると:

echo $_COOKIE['source'];

...正しい出力が得られます: 123. よし!

私が抱えている問題は、jQueryを使用して「sub.example.com」へのajax呼び出しを行うと、Cookieが出力されないことです。空っぽです。

$.ajax({
  type: "POST",
  url: 'http://sub.example.com/index.php',
  dataType: "text",
  error: function(jqXHR,textStatus,errorThrown) {

  },
  success: function() {
   // DOES SOMETHING

  }
});

サブドメインにまたがる ajax と Cookie について私が知らないことはありますか?

(上記の Ajax 呼び出しが何もしないことは承知しています。実際のコードでは、サブドメインのページが COOKIE 値をデータベースに書き込みます。ページをブラウザーに直接読み込むと、データベースはajax からページを読み込むと、データベース エントリは更新されますが、すべての値が空になります。)