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BroadcastReceiver からメソッドを呼び出す必要があり、メソッドは以下の Activity クラスに存在します。
このコードを試してみたNULL_POINTER_EXCEPTIONところ、MainActivity クラスへの参照を作成する場所がわかりました。
私が間違っていることを修正してください。
MainActivity.java
public class MainActivity extends Activity {
@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    setContentView(R.layout.activity_main);
}
public void myTesting(){
    Toast.makeText(MainActivity.this, "Welcome to Activity", Toast.LENGTH_SHORT).show();
}
}
BroadcastReceiver.java
public class BootCompeteReceiver extends BroadcastReceiver {
public Context mContext;
private MainActivity mainActivity;
@Override
public void onReceive(Context context, Intent intent) {
    mContext = context;
    try {
        mainActivity = new MainActivity();
        mainActivity.myTesting();
    } catch (Exception e) {
        Toast.makeText(context, ""+e, Toast.LENGTH_LONG).show();
        e.printStackTrace();
    }
}