HTML5 の HTML 入力の有効性プロパティは、Firefox では機能しないようです。
var input = $input.get(0);
console.log(input.validity)
このコンソール ログは、空のオブジェクトを返します。Chrome と Safari で動作していますが、そのドキュメントを見れば Firefox でも動作すると思われますか?
https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/HTMLInputElement
何か案は?