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この計算を高速化するにはどうすればよいですか。計算を減らす方法をいくつか試しましたが、何も機能しません。

long long pairsFormLCM( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        for( int j = i; j <= n; j++ )
           if( lcm(i, j) == n ) res++; // lcm means least common multiple
    return res;
}

ここにコードは必要ありません。解決策のアイデアまたは説明が必要です。

Expected run time: O(sqrt(N))
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すべての整数のペアを試すの[1,n]は、本当にやり過ぎです。n必要な多重度が積の少なくとも 1 つによって達成されるように、因数のすべての積を因数分解してカウントする必要があります。( lcm2 つの整数の は、それぞれが最大の多重度で取得されたすべての素因数の積です。)

例：

の場合n=1500=2².3.5³、次の多重度が機能します。

For 2, 5 combinations: (0,2), (1,2), (2,2), (2,1), (2,0)
For 3, 3 combinations: (0,1), (1,1), (1,0)
For 5, 7 combinations: (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1), (3,0)

合計で、5.3.7 = 105ソリューション:

(1.1.1,2².3.5³), (2.1.1,2².3.5³), (2².1.1,2².3.5³), (2².1.1,2.3.5³), (2².1.1,1.3.5³),
(1.3.1,2².3.5³), (2.3.1,2².3.5³), (2².3.1,2².3.5³), (2².3.1,2.3.5³), (2².3.1,1.3.5³),
(1.3.1,2².1.5³), (2.3.1,2².1.5³), (2².3.1,2².1.5³), (2².3.1,2.1.5³), (2².3.1,1.1.5³),
(1.1.5,2².3.5³), (2.1.5,2².3.5³), (2².1.5,2².3.5³), (2².1.5,2.3.5³), (2².1.5,1.3.5³),
(1.3.5,2².3.5³), (2.3.5,2².3.5³), (2².3.5,2².3.5³), (2².3.5,2.3.5³), (2².3.5,1.3.5³),
(1.3.5,2².1.5³), (2.3.5,2².1.5³), (2².3.5,2².1.5³), (2².3.5,2.1.5³), (2².3.5,1.1.5³),
(1.1.5²,2².3.5³), (2.1.5²,2².3.5³), (2².1.5²,2².3.5³), (2².1.5²,2.3.5³), (2².1.5²,1.3.5³),
(1.3.5²,2².3.5³), (2.3.5²,2².3.5³), (2².3.5²,2².3.5³), (2².3.5²,2.3.5³), (2².3.5²,1.3.5³),
(1.3.5²,2².1.5³), (2.3.5²,2².1.5³), (2².3.5²,2².1.5³), (2².3.5²,2.1.5³), (2².3.5²,1.1.5³),
(1.1.5³,2².3.5³), (2.1.5³,2².3.5³), (2².1.5³,2².3.5³), (2².1.5³,2.3.5³), (2².1.5³,1.3.5³),
(1.3.5³,2².3.5³), (2.3.5³,2².3.5³), (2².3.5³,2².3.5³), (2².3.5³,2.3.5³), (2².3.5³,1.3.5³),
(1.3.5³,2².1.5³), (2.3.5³,2².1.5³), (2².3.5³,2².1.5³), (2².3.5³,2.1.5³), (2².3.5³,1.1.5³),
(1.1.5³,2².3.5²), (2.1.5³,2².3.5²), (2².1.5³,2².3.5²), (2².1.5³,2.3.5²), (2².1.5³,1.3.5²),
(1.3.5³,2².3.5²), (2.3.5³,2².3.5²), (2².3.5³,2².3.5²), (2².3.5³,2.3.5²), (2².3.5³,1.3.5²),
(1.3.5³,2².1.5²), (2.3.5³,2².1.5²), (2².3.5³,2².1.5²), (2².3.5³,2.1.5²), (2².3.5³,1.1.5²),
(1.1.5³,2².3.5), (2.1.5³,2².3.5), (2².1.5³,2².3.5), (2².1.5³,2.3.5), (2².1.5³,1.3.5),
(1.3.5³,2².3.5), (2.3.5³,2².3.5), (2².3.5³,2².3.5), (2².3.5³,2.3.5), (2².3.5³,1.3.5),
(1.3.5³,2².1.5), (2.3.5³,2².1.5), (2².3.5³,2².1.5), (2².3.5³,2.1.5), (2².3.5³,1.1.5),
(1.1.5³,2².3.1), (2.1.5³,2².3.1), (2².1.5³,2².3.1), (2².1.5³,2.3.1), (2².1.5³,1.3.1),
(1.3.5³,2².3.1), (2.3.5³,2².3.1), (2².3.5³,2².3.1), (2².3.5³,2.3.1), (2².3.5³,1.3.1),
(1.3.5³,2².1.1), (2.3.5³,2².1.1), (2².3.5³,2².1.1), (2².3.5³,2.1.1), (2².3.5³,1.1.1)

実際に数値を計算する必要はなく、数えれば十分です。より一般的には、解の数は のすべての因子の多重度の積でありn、それぞれに 2 + 1 を掛けたものです。

一部のソリューションは、対称性により 2 回カウントされることに注意してください。これは修正する必要があります。

于 2014-12-15T11:03:42.353 に答える