pickadate というプラグインを使用しており、選択した日付から aria ラベル テキストを取得して、それを div に適用しようとしています。一度値を取得することはできますが、別の日をクリックすると #date の日付が更新されませんか?
var $elements = {
datepicker: $('.js-datepicker'),
};
$elements.datepicker.pickadate();
$('.picker__day').on('click', function () {
var date = $(this).attr('aria-label');
$('#date').empty().text(date);
});