geometry - あるデカルトシステムから別のシステムに変換するにはどうすればよいですか

Question

2D問題：デカルト座標系で三角形の3つの端の位置を測定します。次に、システム（三角形）を別のデカルトシステムに移動し、両端の位置を測定します。このデータに基づいて、3番目の端の位置を特定するにはどうすればよいですか？

ありがとう！（そして第二の角度としての悪い英語をお詫びします）

score 2 · Accepted Answer

この質問は8年前のものですが、少し曖昧ですが、かなり簡潔に答えられると思います。もし私が出会ったら、誰か他の人が出くわして、実際の本当の答えから利益を得るかもしれません。受け入れられたものではなく。（受け入れられた「回答」に誤って賛成したことをお詫びします。当初は反対票を投じていましたが、質問が実際には少し曖昧であることに気づき、反対票を覆そうとしました。悲しいことに、私の初心者の担当者のせいで、それは実際の賛成票。反対票に値するものではありませんでしたが、賛成票に値するものでもありませんでした。）

リードアップ

したがって、単純なデカルトグリッドまたは参照フレームがあるとします。

そして、その10x10の参照フレーム内に、三角形のオブジェクトがあります。

画像をラベル付けできませんでしたが、この三角形の（a、b、c）座標は、明らかにa =（0,0）、b =（0,4）、およびc =（4,0）です。

ここで、デカルト座標系（グリッド）内でその三角形を移動するとします。

したがって、「b」と「c」の新しい座標がb =（1,5）とc =（5,1）であるとすると、三角形x = x+1とy=y+1を移動しました。）、「a」とは何ですか？

「a」が（1,1）になることは明らかですが、数学を見ると、

Δb=b2-b1

Δb=（x2、y2）-（x1、y1）

Δb=（1,5）-（0,4）

Δb=（1-0、5-4）

∴Δb=（1,1）または（+ 1、+ 1）

同じ答えに到達する2つの「c」座標に対して同じことを行うと、Δcも（1,1）に等しくなります。したがって、これは平行移動（線形運動）であり、回転ではありません。つまり、Δaも（1,1）！それで：

a2 =a1+Δa

a2 =（0,0）+（+ 1、+ 1）

a2 =（0 + 1,0 + 1）∴</ p>

∴a2=（1,1）

また、画像を見ると、「a」の新しい位置が（1,1）にあることがはっきりとわかります。

翻訳

しかし、それは単なるリードアップです。あなたの質問は、あるデカルト座標系から別の座標系に変換することでした。10x10の参照フレームがより大きな参照フレーム内にあることを考慮してください。

10x10グリッドを「ローカル」参照フレームと呼ぶことができ、おそらく「グローバル」参照フレーム内に存在します。実際には、このグローバル参照フレーム内に他の「ローカル」参照フレームがいくつかある可能性があります。

ただし、簡単にするために、もちろん、あるデカルト座標系を別の座標系内で検討します。

次に、その「ローカル」参照フレームを「グローバル」参照フレーム内に変換する必要があります。

したがって、「ローカル」では、三角形の（a、b、c）座標は{（0,0）、（0,4）、（4,0）}のままですが、ローカル参照フレームの原点です。グローバル参照フレームの原点と位置合わせされていません！ローカル参照フレームがシフトしました（+ 3.5、+ 1.5）！

さて、私たちの三角形の位置は何ですか？！

基本的に同じようにアプローチします。「ローカル」参照フレームの相対位置は（+ 3.5、+ 1.5）であり、フレームの差を表すためにΔfと呼びます。したがって、グローバル原点に対する三角形はag = al +Δf、bg =bl+Δfになります。、およびcg = cl +Δf。ここで、（ag、bg、cg）はグローバル参照フレーム内の座標であり、（al、bl、cl）はローカル参照フレーム内の座標です。

三次元デカルトシステム

これはまったく同じです。三角形の位置に3番目の「z」座標を含めるだけです。

回転

私があなたの最初の質問からしている仮定の1つは、あなたが実際に翻訳について質問していて、8年前にこの質問をしたときにローテーションに興味がなかったということです。

ただし、非常に迅速に、参照フレーム内で2Dオブジェクトを回転させるには、trigを使用する必要があるため、最初に、オブジェクトを回転している場所を決定する必要があります。これを回転軸と呼びます。次に、回転軸がどこにあるかを決定したら、三角形の3つのポイントのそれぞれについて（x、y）を再計算します。

x = r・cosθ

y = r・sinθ

ここで、θはオブジェクトを回転させる角度、「r」は回転軸からのその点の距離、「・」は単に乗算を意味します。

したがって、三角形をピオント「a」を中心に反時計回りに30度回転させると、次のようになります。

しかし、繰り返しになりますが、それはあなたの質問ではありませんでした。あなたの質問は、「2つのポイントの位置を指定して、3番目のポイントの位置を決定する」でした。

何の説明もなしに、あなたがローテーションについて尋ねていたとは思わないという理由だけで、あなたがしていることはあなたが後ろ向きに働くことです：

x = r・cosθの場合、θ= arccos（x / r）

これで回転角が得られ、欠落した点の元の位置に適用してその（x、y）を見つけることができます。また、元の平行移動の例と同様に、あるデカルト座標系から別の座標系まで機能します。つまり、「ローカル」参照フレームがグローバル参照フレーム内で回転する場合、ローカルフレーム内で何も変更されていないように見えても、グローバルフレーム内のオブジェクトのポイントの位置をプロットできます。

また、これは3D参照フレームでも機能します。

そして最後に、デカルトローカル参照フレームが平行移動と回転の両方である場合（ほぼ確実にそうです）、両方の方法を適用して、ポイントを他の（グローバル？）デカルト参照フレームにプロットします。