ラムダが異なる2つの指数分布の合計を計算しました。
指数分布の総和はアーラン(ガンマ)分布であることが知られています。
ただし、lamdbas が異なる場合、結果は少し異なります。
とにかく、次の方程式を見てください。
さて、問題は (alpha_1 λ_2-alpha_2 λ_1) です。
(alpha_1 λ_2-alpha_2 λ_1) が 0 になる
したがって、最後の 2 項は無限大になります....
本当？？
検証のためにいくつかの簡単な matlab コードを作成します。
clc;
clear;
mu=[1 2];
a1 = mu(1)/(mu(1)+mu(2));
a2 = mu(2)/(mu(1)+mu(2));
n = 10^6;
x = exprnd(mu(1), [1, n]);
y = exprnd(mu(2), [1, n]);
z = a1*x + a2*y;
figure
histfit(z, 100 ,'gamma')`
図は Z=alpha_1 * X + alpha_2 * Y の pdf です。
この場合は、λ_1 = 1、λ_1=2 です。(赤い線はガンマ分布です。)
matlab の結果は、確率変数 Z が無限値ではないことを示しています。
私の計算の問題は何ですか??