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まず、これは (ContourPlot から) かなり単純な最大化問題のように見えますが、なぜニュートン法で FindMaximum に問題があるのでしょうか?

第二に、どうすれば警告を取り除くことができますか?

第 3 に、これらの警告を取り除くことができない場合、警告が意味のあるものかどうか (つまり、最大化に失敗したかどうか) をどのように判断できますか?

たとえば、次のコードでは、FindMaximum と Newton のメソッドで警告が表示されますが、PrincipalAxis メソッドでは警告が表示されません。

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
(* -1 は最大に向かってより多くの等高線を作成します *)

輪郭関数[n_、p_] :=関数[{最小、最大}、
   範囲 = 最大 - 最小;
   Table[Exp[p (x - 1)] x 範囲 + 最小, {x, 0, 1, 1/n}]
   ];
cf = 輪郭関数[10, -1];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, 等高線 -> cf}

FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, メソッド -> "ニュートン"}
FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, メソッド -> "PrincipalAxis"}

注、おそらく勾配がコンポーネントの1つの方向で0であることが問題であると考えましたが、最初の点を摂動させても同じ警告が表示されます。例を次に示します

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}}
FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h,
    0.06931364191023386`}}、メソッド -> "ニュートン"}
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数学的には、Netwon の方法が失敗する正確な理由はわかりませんが、 のドキュメントの例では、この特定の問題と、FindMaximum考えられる問題の下のエラー メッセージを指摘しています。

したがって、たとえば警告のWorkingPrecision -> 20オプションを使用して作業精度を上げると、次のようになります。FindMaximum

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

エラーのテキストがかなり説明的であることを考えると、次のようになります。

FindMaximum::lstol: ライン サーチはステップ サイズを AccuracyGoal と PrecisionGoal で指定された許容範囲内に減らしましたが、関数で十分な増加を見つけることができませんでした。これらの公差を満たすには、MachinePrecision 桁以上の作業精度が必要になる場合があります。>>

... ニュートンの方法は、機械精度の演算を使用して十分に小さな誤差で固定点に到達できていないのではないかと思います。

エラー メッセージが示唆しているAccuracyGoalように、低速の高精度演算に切り替えたくない場合は、代わりにオプションを使用して解に必要な有効桁数を指定できます。

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

それが役立つことを願っています!

于 2010-08-26T03:08:57.600 に答える