子が ElementName で明示的に指定されている場合、子の Background にバインドできます。
<TreeViewItem Header="Test" Background="{Binding ElementName=TestChild, Path=Background}">
<TextBox Name="TestChild" Text="Hello?" Background="{Binding SomeBinding}" />
</TreeViewItem>
特定の名前ではなく、相対的な位置を使用したいと思います。相対を使用して子にバインドすることは可能ですか? この場合、常に最初の子になります。以下は機能しませんが、機能するはずです。
<TreeViewItem Header="Test" Background="{Binding RelativeSource={RelativeSource Mode=Self}, Path=Children[0].Background}">