quantum-computing - 量子ビット演算から軸角ブロッホ球回転に変換

Question

単一の量子ビットに適用する演算の 2x2 ユニタリ行列表現が与えられた場合、ブロッホ球上で対応する回転をどのように計算すればよいでしょうか?

たとえば、アダマール行列は、X+Z 軸を中心とした 180 度の回転です。[[1,1],[1,-1]]*sqrt(0.5)からへ(X+Z, 180 deg)の行き方

Answer 1

シングル キュービット操作は、基本的に単位クォータニオンにすぎませんが、位相係数が追加されています。類似性は、パウリ行列、 timesが四元数を定義sqrt(-1)する関係を満たすためです。i^2=j^2=k^2=ijk=-1

その結果、変換方法の難しい部分は、「クォータニオンから軸角度へ」コードによってすでに処理されています。フェーズド クォータニオン コンポーネントを引き出し、位相係数を計算し、クォータニオンから角度軸への方法を適用するだけです。

import math
import cmath

def toBlochAngleAxis(matrix):
    """
    Breaksdown a matrix U into axis, angle, and phase_angle components satisfying
    U = exp(i phase_angle) (I cos(angle/2) - axis sigma i sin(angle/2))

    :param matrix: The 2x2 unitary matrix U
    :return: The breakdown (axis(x, y, z), angle, phase_angle)
    """
    [[a, b], [c, d]] = matrix

    # --- Part 1: convert to a quaternion ---

    # Phased components of quaternion.
    wp = (a + d) / 2.0
    xp = (b + c) / 2.0j
    yp = (b - c) / 2.0
    zp = (a - d) / 2.0j

    # Arbitrarily use largest value to determine the global phase factor.
    phase = max([wp, xp, yp, zp], key=abs)
    phase /= abs(phase)

    # Cancel global phase factor, recovering quaternion components.
    w = complex(wp / phase).real
    x = complex(xp / phase).real
    y = complex(yp / phase).real
    z = complex(zp / phase).real

    # --- Part 2: convert from quaternion to angle-axis ---

    # Floating point error may have pushed w outside of [-1, +1]. Fix that.
    w = min(max(w, -1), +1)

    # Recover angle.
    angle = -2*math.acos(w)

    # Normalize axis.
    n = math.sqrt(x*x + y*y + z*z);
    if n < 0.000001:
        # There's an axis singularity near angle=0.
        # Just default to no rotation around the Z axis in this case.
        angle = 0
        x = 0
        y = 0
        z = 1
        n = 1
    x /= n
    y /= n
    z /= n

    # --- Part 3: (optional) canonicalize ---

    # Prefer angle in [-pi, pi]
    if angle <= -math.pi:
        angle += 2*math.pi
        phase *= -1

    # Prefer axes that point positive-ward.
    if x + y + z < 0:
        x *= -1
        y *= -1
        z *= -1
        angle *= -1

    phase_angle = cmath.polar(phase)[1]

    return (x, y, z), angle, phase_angle

それをテストする：

print(toBlochAngleAxis([[1, 0], [0, 1]])) # Identity
# ([0, 0, 1], 0, 0.0)

print(toBlochAngleAxis([[0, 1], [1, 0]])) # Pauli X, 180 deg around X
# ([1.0, -0.0, -0.0], 3.141592653589793, 1.5707963267948966)

print(toBlochAngleAxis([[0, -1j], [1j, 0]])) # Pauli Y, 180 deg around Y
# ([-0.0, 1.0, -0.0], 3.141592653589793, 1.5707963267948966)

print(toBlochAngleAxis([[1, 0], [0, -1]])) # Pauli Z, 180 deg around Z
# ([-0.0, -0.0, 1.0], 3.141592653589793, 1.5707963267948966)

s = math.sqrt(0.5)
print(toBlochAngleAxis([[s, s], [s, -s]])) # Hadamard, 180 deg around X+Z
# ([0.7071067811865476, -0.0, 0.7071067811865476], 3.141592653589793, 1.5707963267948966)

print(toBlochAngleAxis([[s, s*1j], [s*1j, s]])) # -90 deg X axis, no phase
# ((1.0, 0.0, 0.0), -1.5707963267948966, 0.0)