Flex-ratio プロパティを使用していますが、このプロパティが機能しません。コードを共有しています。このリンクによると、このプロパティはPolymer 1.0でうまく機能しています。
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<script src="bower_components/webcomponentsjs/webcomponents-lite.min.js"></script>
<link rel="import" href="bower_components/paper-button/paper-button.html">
<link rel="import" href="bower_components/paper-input/paper-input.html">
<link rel="import" href="bower_components/paper-car/paper-card.html">
<link rel="import" href="bower_components/polymer/polymer.html">
<link rel="import" href="bower_components/iron-icon/iron-icon.html">
<link rel="import" href="bower_components/iron-icons/iron-icons.html">
<link rel="import" href="bower_components/iron-flex-layout/iron-flex-layout-classes.html">
<link rel="import" href="bower_components/iron-flex-layout/iron-flex-layout.html">
<style is="custom-style" include="iron-flex"></style>
</head>
<body>
<div class="horizontal layout">
<div class="flex-2"><p>flex three</p></div>
<div class="flex-1"><p>flex</p></div>
<div class="flex-2"><p>flex two</p></div>
</div>
</body>
</html>