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させて

f[x_,y_,z_] := Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]

mathematica を使用して x>=0&&y>=0&&z>=0&&x+y+z==1 の f の最小値を取得したい。

PS：数学的な方法で最小値を取得する方法を知っています：

Since 0<=x<=1,0<=y<=1,0<=z<=1, we have
0<=x^2<=x,0<=y^2<=y,0<=z^2<=z.
Hence,
3a+1 >= a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2, where a in {x,y,z}.
Consequently,
f[x,y,z] >= x+1+y+1+z+1 = 4,
Where the equality holds if and only if (x==0&&y==0||z==1)||...

PS2: 次のコードが機能することを期待していましたが、機能しませんでした。

Minimize[{f[x,y,z],x>=0&&y>=0&&z>=0&&x+y+z==1},{x,y,z}]

実際、Simon が指摘しているように、うまくいきます... 実行時間が予想よりも長く、Mahtematica が結果を表示する前に閉じてしまいました。

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3 に答える 3

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これは、あなたの望むことですか？

In[1]:= f[x_,y_,z_]:=Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]
In[2]:= Minimize[{f[x,y,z],x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z==1},{x,y,z}]
Out[2]= {4,{x->1,y->0,z->0}}

ドキュメントには、「複数のポイントで同じ最小値が達成されたとしても、返されるのは 1 つだけです」と記載されているため、問題の順列対称性を自分で課す必要があることに注意してください。

PSこれをラグランジュ乗数問題に変えることができます

In[3]:= Thread[D[f[x,y,z] - \[Lambda](x+y+z-1), {{x,y,z,\[Lambda]}}]==0];
        Reduce[Join[%,{x>=0,y>=0,z>=0}],{x,y,z,\[Lambda]},Reals]
        {f[x,y,z],D[f[x, y, z], {{x, y, z}, 2}]}/.ToRules[%]
Out[4]= x==1/3&&y==1/3&&z==1/3&&\[Lambda]==3/(2 Sqrt[2])
Out[5]= {3 Sqrt[2],{{-(9/(8 Sqrt[2])),0,0},{0,-(9/(8 Sqrt[2])),0},{0,0,-(9/(8 Sqrt[2]))}}}

唯一の静止点が x=y=z=1/3 で最大であることを確認します。したがって、最小値は境界上にある必要があります。その後、同様のコードを使用できますが、最終的に正しい結果を見つけるために境界に制限されます。

于 2010-11-25T00:39:33.127 に答える
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楽しみのために、これはサイモンによって与えられた解のプロットです:

f[x_, y_, z_] := Sqrt[3 x + 1] + Sqrt[3 y + 1] + Sqrt[3 z + 1]
g1 = ContourPlot3D[f[x, y, z] == 4, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#3 &}, ContourStyle -> {Blue, Opacity[0.5]}];
g2 = ContourPlot3D[ x + y + z == 1, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#2 &}, ContourStyle -> {Green, Opacity[0.5]}];
Show[g1, g2, Graphics3D[{PointSize[0.05], Red, Point[{1, 0, 0}]}], ViewPoint -> {1.1`, -2.4`, 1.7`}]

代替テキスト

于 2010-11-25T01:56:04.080 に答える
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あなたは「数学の方法」に興味がないと言います（あなたがそれを言うときにあなたが何を考えているのかわかりませんが、それは私にラグランジュ乗数を使った最小化の方法を考えさせます）。それが正しければ、なぜMathematicaを議論に持ち込むのですか？何を使うと思いますか？

私はあなたが数値のコンピュータソリューションを意味すると仮定する必要があります。線形計画法とシンプレックス法から始めます。

于 2010-11-25T00:13:16.870 に答える