Python、疑似コード、またはその他の読みやすいものでNの素因数を取得するための実装または明確なアルゴリズムを探しています。いくつかの要件/制約があります。
- Nは 1 ～ 20 桁です
- 事前に計算されたルックアップ テーブルはありませんが、メモ化は問題ありません
- 数学的に証明する必要はありません (たとえば、必要に応じてゴールドバッハ予想に頼ることができます)。
- 正確である必要はありません。必要に応じて確率論的/決定論的であってもかまいません。
それ自体だけでなく、オイラーphi(n)の計算など、他の多くのアルゴリズムで使用するための高速な素因数分解アルゴリズムが必要です。
ウィキペディアなどから他のアルゴリズムを試してみましたが、理解できなかった (ECM) か、アルゴリズムから機能する実装を作成できませんでした (Pollard-Brent)。
私は Pollard-Brent アルゴリズムに非常に興味を持っているので、それに関する情報や実装があればとてもうれしいです。
ありがとう！
編集
少しいじった後、かなり高速な素数/因数分解モジュールを作成しました。これは、最適化された試行分割アルゴリズム、Pollard-Brent アルゴリズム、Miller-Rabin 素数性テスト、およびインターネットで見つけた最速の素数ふるいを組み合わせたものです。gcd は通常の Euclid の GCD 実装です (バイナリ Euclid の GCD は通常のものよりもはるかに遅いです)。
バウンティ
なんと、バウンティを獲得できます！しかし、どうすれば勝つことができますか？
- モジュールで最適化またはバグを見つけます。
- 代替/より優れたアルゴリズム/実装を提供します。
最も完全で建設的な回答が賞金を獲得します。
そして最後にモジュール自体:
import random
def primesbelow(N):
# http://stackoverflow.com/questions/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
#""" Input N>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < N """
correction = N % 6 > 1
N = {0:N, 1:N-1, 2:N+4, 3:N+3, 4:N+2, 5:N+1}[N%6]
sieve = [True] * (N // 3)
sieve[0] = False
for i in range(int(N ** .5) // 3 + 1):
if sieve[i]:
k = (3 * i + 1) | 1
sieve[k*k // 3::2*k] = [False] * ((N//6 - (k*k)//6 - 1)//k + 1)
sieve[(k*k + 4*k - 2*k*(i%2)) // 3::2*k] = [False] * ((N // 6 - (k*k + 4*k - 2*k*(i%2))//6 - 1) // k + 1)
return [2, 3] + [(3 * i + 1) | 1 for i in range(1, N//3 - correction) if sieve[i]]
smallprimeset = set(primesbelow(100000))
_smallprimeset = 100000
def isprime(n, precision=7):
# http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test#Algorithm_and_running_time
if n < 1:
raise ValueError("Out of bounds, first argument must be > 0")
elif n <= 3:
return n >= 2
elif n % 2 == 0:
return False
elif n < _smallprimeset:
return n in smallprimeset
d = n - 1
s = 0
while d % 2 == 0:
d //= 2
s += 1
for repeat in range(precision):
a = random.randrange(2, n - 2)
x = pow(a, d, n)
if x == 1 or x == n - 1: continue
for r in range(s - 1):
x = pow(x, 2, n)
if x == 1: return False
if x == n - 1: break
else: return False
return True
# https://comeoncodeon.wordpress.com/2010/09/18/pollard-rho-brent-integer-factorization/
def pollard_brent(n):
if n % 2 == 0: return 2
if n % 3 == 0: return 3
y, c, m = random.randint(1, n-1), random.randint(1, n-1), random.randint(1, n-1)
g, r, q = 1, 1, 1
while g == 1:
x = y
for i in range(r):
y = (pow(y, 2, n) + c) % n
k = 0
while k < r and g==1:
ys = y
for i in range(min(m, r-k)):
y = (pow(y, 2, n) + c) % n
q = q * abs(x-y) % n
g = gcd(q, n)
k += m
r *= 2
if g == n:
while True:
ys = (pow(ys, 2, n) + c) % n
g = gcd(abs(x - ys), n)
if g > 1:
break
return g
smallprimes = primesbelow(1000) # might seem low, but 1000*1000 = 1000000, so this will fully factor every composite < 1000000
def primefactors(n, sort=False):
factors = []
for checker in smallprimes:
while n % checker == 0:
factors.append(checker)
n //= checker
if checker > n: break
if n < 2: return factors
while n > 1:
if isprime(n):
factors.append(n)
break
factor = pollard_brent(n) # trial division did not fully factor, switch to pollard-brent
factors.extend(primefactors(factor)) # recurse to factor the not necessarily prime factor returned by pollard-brent
n //= factor
if sort: factors.sort()
return factors
def factorization(n):
factors = {}
for p1 in primefactors(n):
try:
factors[p1] += 1
except KeyError:
factors[p1] = 1
return factors
totients = {}
def totient(n):
if n == 0: return 1
try: return totients[n]
except KeyError: pass
tot = 1
for p, exp in factorization(n).items():
tot *= (p - 1) * p ** (exp - 1)
totients[n] = tot
return tot
def gcd(a, b):
if a == b: return a
while b > 0: a, b = b, a % b
return a
def lcm(a, b):
return abs((a // gcd(a, b)) * b)