wolfram-mathematica - 数学の漸化式を効率的に計算する方法は？

Question

解決すべき再帰があります。

f(m,n)=Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7]
f(0,n)=1, f(1,n)=n

ただし、次のmmaコードは非常に非効率的です

f[m_, n_] := Module[{},
  If[m < 0, Return[0];];
  If[m == 0, Return[1];];
  If[m == 1, Return[n];];
  Return[Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7]];]

f[40,20]の計算には耐えられないほど長い時間がかかります。誰かがこれを行うための効率的な方法を提案できますか？どうもありがとう！

Answer 1

標準的なトリックは、中間値を保存することです。以下は0.000025秒かかります

f[m_, n_] := 0 /; m < 0;
f[0, n_] := 1;
f[1, n_] := n;
f[m_, n_] := (f[m, n] = 
    Sum[f[m - 1, n - 1 - i] + f[m - 3, n - 5 - i], {i, 2, 
       n - 2*m + 2}] + f[m - 1, n - 3] + f[m - 3, n - 7]);
AbsoluteTiming[f[40, 20]]