ずっと頭を悩ませている宿題の質問があります。関数 Sum[log(i)*i^3, {i, n}) (つまり、i=1 から n までの log(i)*i^3 の合計) が big-theta であることを証明するよう求められます。 (ログ(n)*n^4)。
Sum[i^3, {i, n}] は ( (n(n+1))/2 )^2 で、Sum[log(i), {i, n}) は log(n! ）、しかし、1）これら2つは合計内の同じ製品の一部であるため、別々に扱うことができるかどうか、および2）これを証明に役立つ形式にする方法はわかりません。
どんな助けでも本当に感謝しています。ありがとう！
解の一部のヒント: 左の合計の最後の 2 つの被加数の合計はどのくらいですか?
2 番目の部分のヒント: 左辺 (和) を右辺で割ると、加数はいくつになりますか? 一番大きいのはどれくらいですか？
最初の部分のヒント: 最初の式で n/2 から n までの合計の単純な下限推定値を見つけます。
級数は次のようになります - log 1 + log 2 * 2^3 + log 3 * 3^3....(n 項まで) の合計は収束しません。だから統合したら
Integral to (1 to infinity) [ logn * n^3] (部分積分)
1/4*logn * n^4 - 1/16* (n^4) が得られます
ここで支配的な用語が logn*n^4 であることは明らかであり、したがって Big Theta(log n * n^4) に属します。
あなたがそれを見ることができる他の方法は -
系列は、log 1 + log2 * 8 + log 3 * 27......+ log n * n^3 のようになります。すべての対数関数は漸近的に同じ割合で増加するため、log n は最大値を持つ項と考えることができます。
上記のシリーズを log n (1 + 2^3 + 3^3...) として扱うことができます。
ログ n [n^2 ( n + 1)^2]/4
f(n) = log n * n^4 g(n) = log n [n^2 ( n + 1)^2]/4 と仮定
f(n)/g(n) の lim (n は inf になる傾向がある) が定数になることを示すことができます [L'Hopital のルールを適用する]
これは、関数 g(n) が Big Theta (f(n)) に属していることを証明する別の方法です。
それが役立つことを願っています。
BigO の極限定義を試し、微積分を使用します。
微積分については、コンピュータ代数システムを使用することをお勧めします。
次の回答では、 Maxima Opensource CAS でこれを行う方法を示しました： 対数と累乗の漸近的複雑さ