Peter Alfred の多変量分散データ補間に関する記事で、彼は、さまざまなスキームのうち、実践者の間で本当に人気があるのはごくわずかであると述べました。彼は、シェパード法やハーディ マルチ二次方程式などの名前を挙げました。しかし、その記事は今ではほぼ 20 年前のものであり、本当に興味深いのは、現在広く使用されている方法です。
いくつかの空間補間スキームを使用した経験がある場合は、それについて教えてください。
UPD: この質問をより競争力のあるものにするために、言い直しました。それは、「これまでに使用した多変量補間の方法は何ですか?」というものでした。
(気力が尽きない限り、これは長くなります。)
最初に、非分散データに関するいくつかのコメント。(littleCMS を参照する回答を参照)
一般的なカラー補間には 2 つのタイプがあります。数年前、トリリニア補間 (テンソル積線形補間) は、カラー テーブル補間の一般的なアプローチでした。Trilinear 補間は実際、最初は 1 つの軸で、次に 2 番目の軸に沿って、というように一連の 1 次元補間として実装できます。
何年も前に、トリリニア補間を特定のタイプの変換に適用すると、カラー イメージングにアーティファクトが発生することがわかりました。問題はニュートラルに見られます。解決策は、立方体を 6 つの四面体に分割することにより、3 次元のシンプリカル内挿に移行することです。n 次元では、単位立方体は階乗 (n) 個のシンプレックスに分割されます。立方体の分割は他にもありますが、この特定のスタイルは、主対角線が常にすべてのシンプレックスの共有エッジであることを保証します。これにより、特定のカラー ルックアップ テーブルに適用すると、ニュートラルの良好な動作が復元されます。
それでは、真の分散データ補間の問題に入りましょう。
他の人は、さまざまなスキームについて言及しています。クリギング、マルチ二次元、距離ベースの方法はいくつかあります。(過去にこれらのスキームでいくつかの作業を行ったとき、実際には逆多重二次法を好みました。) これらはすべて、一般的なスキームである動径基底関数法のバリエーションにすぎません。RBF 法には、それぞれ長所と短所があります。これらは通常、スムーズな内挿を生成します。これはもちろん、選択した特定の基底関数と、サポートを制限するかどうかによって異なります。RBF メソッドを使用すると、少なくとも放射状基底要素のサポートが拡張される限り、外挿することもできます。基底要素の範囲が無限であることが許可されている場合、外挿に対する明示的な制約は適用されません。(外挿は一般的に悪いことです。) RBF 法の 1 つの問題は、大規模な線形方程式系の解が必要であり、それらの方程式系はしばしば密な行列であるということです。これは、処理できるデータ ポイントの数に関して、問題のサイズが線形代数によって制限される傾向があることを意味します。代わりに、基底要素を切り捨ててサポートを制限すると、行列が疎になる可能性があります。ソリューションに疎行列パッケージを使用する場合、これにより線形代数が改善されます。同時に、サポート距離は制御が必要な非線形パラメータになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。これらの方程式系は、多くの場合、密行列です。これは、処理できるデータ ポイントの数に関して、問題のサイズが線形代数によって制限される傾向があることを意味します。代わりに、基底要素を切り捨ててサポートを制限すると、行列が疎になる可能性があります。ソリューションに疎行列パッケージを使用する場合、これにより線形代数が改善されます。同時に、サポート距離は制御が必要な非線形パラメータになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。これらの方程式系は、多くの場合、密行列です。これは、処理できるデータ ポイントの数に関して、問題のサイズが線形代数によって制限される傾向があることを意味します。代わりに、基底要素を切り捨ててサポートを制限すると、行列が疎になる可能性があります。ソリューションに疎行列パッケージを使用する場合、これにより線形代数が改善されます。同時に、サポート距離は制御が必要な非線形パラメータになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。処理できるデータ ポイントの数に関しては、線形代数によって制限される傾向があります。代わりに、基底要素を切り捨ててサポートを制限すると、行列が疎になる可能性があります。ソリューションに疎行列パッケージを使用する場合、これにより線形代数が改善されます。同時に、サポート距離は制御が必要な非線形パラメータになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。処理できるデータ ポイントの数に関しては、線形代数によって制限される傾向があります。代わりに、基底要素を切り捨ててサポートを制限すると、行列が疎になる可能性があります。ソリューションに疎行列パッケージを使用する場合、これにより線形代数が改善されます。同時に、サポート距離は制御が必要な非線形パラメータになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。サポート距離は、制御が必要な非線形パラメーターになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。サポート距離は、制御が必要な非線形パラメーターになります。同様に、多重二次法や逆多重二次法などの方法には、基底要素の形状を制御する二次非線形パラメーターがある場合があります。クリギングにも同様の問題があり、これらの方法をすべてひとまとめにします。
これらの問題を解決するには、私が RBF バリアントとして分類したこれらのメソッドはすべて、快適に処理できるポイントの数が制限されていることがよくあります。処理方法と使用可能なメモリの量によっては、その制限は多くの場合、数千ポイントのオーダーになる場合があります。
RBF メソッドの一般的なクラスに関するもう 1 つの問題は、私が内挿と呼ぶものです。これは、私が何年も前に作成した新語で、データの比較的大きな穴の補間を説明するものです。実際、データの小さな穴を補間する場合でも、問題が発生することがよくあります。これらの方法は、ある程度滑らかであるため、補間されたサーフェスに不要な極値 (大きなピークまたは谷) を導入する可能性があります。これは 1 次元内挿でもよくある問題であり、3 次スプラインまたは多項式内挿でリンギング アーティファクトとしてよく見られ、フーリエ級数内挿で確実に見られます。高次元の問題は、それが実際に起こったことを認識することです.3次元以上で表面をプロットすることは難しい傾向があるからです.
その制限よりも多くのポイントがある場合、またはこれらのリンギング アーティファクトが許容できない場合は、多くの場合、他の方法を選択することをお勧めします。線形内挿を使用する場合、高次元での最も簡単な解決策は、データのテッセレーションから開始することです。したがって、3 次元では、データを四面体にテッセレーション (通常はドローネ テッセレーション) します。これは非常に効率的であり、この目的のために多くのツールが見つかります。個々のポイントを補間するのは簡単な問題です。ポイントがどのシンプレックスにあるかを識別し、重心座標をシンプレックス内の補間重みとして計算し、見つかったシンプレックスの各頂点で対応する関数値の線形結合を形成します。これはすべて非常に高速で効率的です。
これらのテッセレーション ベースの方法の欠点は、通常、データ ポイントの凸包に制限されることです。また、悪いことに、データがたまたま非凸ドメインにある場合、内挿は一部の領域で奇妙なことを行う可能性があります。あなたのドメイン。上で述べた方式のもう 1 つの問題は、内挿が区分線形のみになることですが、高次元に移行すると、事態が急速に悪化することです。テッセレーションに基づいてスムーズに補間する方法は他にもありますが、より多くの労力が必要になるため、あまり一般的ではありません。
基本的なトレードオフはここで明らかです。滑らかな内挿が必要で、数点しかない場合は、多くの場合、RBF 法が選択されます。それらはシンプルで使いやすいなどです。実際に選択される方法は、多くの場合、利便性の問題、または習慣の問題ですらあります。以前に 1 つのツールを使用して満足したことがあれば、おそらく再び満足するでしょう。問題はどの方法が「実際に使用するのに最適か」ということでしたので、文脈から外れた場合、最良という言葉は非常に主観的なものであることを指摘しておきます。内挿問題におけるあなたの目標は何ですか? どのスキルセットを所有していますか? どのツールのセットの使い方を知っていますか? どのような環境で働く予定ですか？これらの要因はすべて、最適な方法の選択に影響します。
多くのデータ ポイントがあり、速度が重要であるが、究極の滑らかさはそれほど重要ではない場合は、通常、simplicial 内挿を探します。もちろん、十分なポイントがあれば、ビーストの区分的線形性はそれほど重要ではありません。ここでの区分的線形内挿には、場合によっては、データに存在しなかった極値をサーフェスに生成できないという大きな利点があります。色の特性評価など、一部の問題では、これが最も重要です。
もう1つの問題はノイズです。ノイズの存在は、多くの場合、何らかのスムージングが必要であることを示していますが、そのようなすべてのサーフェスにスムージングが適用されているわけではありません。平滑化演算子は、データの重要な特徴を平滑化する場合もあります。これは、平滑化演算子をローパス フィルターと考えることができるためです。高周波の振る舞いはしばしばノイズですが、失うわけにはいかない私の表面の鋭いつま先や肩である可能性もあります. これが問題になる場合は、大きなノイズが存在する場合でも内挿を使用することをお勧めします。その場合、最も単純で最低次の内挿が最適であることをお勧めします。滑らかでよりグローバルな内挿は、データ内のノイズを増幅する傾向もあるため、ノイズが存在する中で最小分散内挿を探す場合、
もちろん、補間の有無にかかわらず、薄板スプラインにはさまざまな種類があります。1 つの次元を超えると、少なくともその仕事をする気があれば、選択肢も広がります。
本になる前にここで終わります。
私は過去にクリギングを使用したことがあり、各サンプルで精度の推定値が含まれる分散データを使用していました。地球統計学の世界の外でもっと広く使われるに値する強力な技術のように思えた.
(1 年後) inverse-distance-weighted-idw-interpolation-with-python、逆距離重み付けと scipy.spatial.KDTree の組み合わせを参照してください。
私が見た唯一のアプリケーションは、littleCMSコード (オープン ソースのカラー管理エンジン) のアプリケーションです。
初めてチェックしたときは、1 つの軸で線形補間を行い、その結果と他の軸の点の間で補間しました。再ダウンロードしたところ、より洗練されているようです。あなたが言及した記事と比較することはできませんが、チェックしたいかもしれませんcmslut.c。ファイルにあります。
サーフェス操作LINKのために 3D 散乱データのスムージングを行いました。これには多くの点が含まれており、私は非常に滑らかな表面が必要だったので、プロセスは最初にデータに最適な二次曲面を見つけ、次にポイントが表面にフィットする緩和フェーズを見つけました。これは元のデータへの補間サーフェスではありませんが、最適化された方法で補間の次数を減らす方法でした。
この方法には、二次近似に適した区分領域での操作が含まれていました。
この方法のもう 1 つの興味深い特徴は、ポイントが三角形の頂点であり、平滑化中に接続が維持されることです。