ルーターを使用する前は、NewContactPage から [Done] をクリックして、ContactsPage の add 関数を呼び出し、リストに新しい人物を追加することができました。
<div>
<ContactsPage ref={instance => { this.contacts = instance; }} />
<NewContactPage handleSubmit={e => this.contacts.add(e) } />
</div>
ルーターでは、通信がどのように機能するかわかりませんが、
<Router>
<div>
<Route exact path="/" component={ContactsPage} />
<Route path="/add" component={NewContactPage} />
</div>
</Router>
ソースコード: https://codesandbox.io/s/upbeat-architecture-xww2c
どうもありがとう!