laravel - vueのselectタグで選択したオプションにv-bindingしているときに、v-modelをdata()にバインドするにはどうすればよいですか

Question

配列 (連絡先) を取り込んで、配列の連絡先 ID が selected_contact と等しい場合に選択済みとして表示しているオプション タグでそれを反復処理しています。これはうまくいきますが、新しく選択したオプションをデータにバインドして新しいアクティビティを追加したいのですが、うまくいきません。私は何を間違っていますか？

<select v-model="selected" class="border py-2 px-3 text-grey-800 w-full" name="contact_id">
                   

  <option v-for="contact in contacts" v-bind:selected="contact.id === selected_contact">{{contact.name}}
  </option>

</select>

ここに私が持っているものがあります data()

data() {
            return {
                name: '',
                selected: '',
                activity_type_id: '',
                comments: ''
            }
        },

次に、この onclick で送信しようとしています:

<div class="px-8 py-4 border-gray-200 flex items-center">
          <button @click="addActivity" class="bg-teal-300 hover:bg-teal-800 text-white font-bold py-2 px-4 rounded ml-4 mt-3 mr-15">Add Activity</button>
   
        </div>

以下の addActivity 関数を使用します。

 addActivity(){

                    let activityAdd = {
                           comments: this.comments,
                           contact_id: this.selected,
                           activity_type_id: this.activity_type_id,
                        }
                        console.log(activityAdd);
                        this.$inertia.post('/activity', activityAdd)
                    },