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私はジェネリック コール オプションのモンテカルロ アプローチを使用してこれらの導関数を計算しています。私は、この組み合わせ導関数 (S とシグマの両方に関して) に興味があります。アルゴリズムの微分でこれを行うと、ページの最後に表示されるエラーが表示されます。可能な解決策は何ですか？コードに関して何かを説明するために、以下のコードで「X」を計算するために使用される式を添付します。

ここに画像の説明を入力

from jax import jit, grad, vmap
import jax.numpy as jnp
from jax import random
Underlying_asset = jnp.linspace(1.1,1.4,100)
volatilities = jnp.linspace(0.5,0.6,100)
def second_derivative_mc(S,vol):
    N = 100
    j,T,q,r,k = 10000,1.,0,0,1.
    S0 = jnp.array([S]).T #(Nx1) vector underlying asset
    C = jnp.identity(N)*vol    #matrix of volatilities with 0 outside diagonal 
    e = jnp.array([jnp.full(j,1.)])#(1xj) vector of "1"
    Rand = np.random.RandomState()
    Rand.seed(10)
    U= Rand.normal(0,1,(N,j)) #Random number for Brownian Motion
    sigma2 = jnp.array([vol**2]).T #Vector of variance Nx1

    first = jnp.dot(sigma2,e) #First part equation
    second = jnp.dot(C,U)     #Second part equation

    X = -0.5*first+jnp.sqrt(T)*second

    St = jnp.exp(X)*S0

    P = jnp.maximum(St-k,0)
    payoff = jnp.average(P, axis=-1)*jnp.exp(-q*T)
    return payoff 


greek = vmap(grad(grad(second_derivative_mc, argnums=1), argnums=0)(Underlying_asset,volatilities)

これはエラーメッセージです：

> UnfilteredStackTrace                      Traceback (most recent call
> last) <ipython-input-78-0cc1da97ae0c> in <module>()
>      25 
> ---> 26 greek = vmap(grad(grad(second_derivative_mc, argnums=1), argnums=0))(Underlying_asset,volatilities)
> 
> 18 frames UnfilteredStackTrace: TypeError: Gradient only defined for
> scalar-output functions. Output had shape: (100,).

以下のスタック トレースは、JAX 内部フレームを除外しています。上記は、発生した元の例外であり、変更されていません。

上記の例外は、次の例外の直接の原因でした。

> TypeError                                 Traceback (most recent call
> last) /usr/local/lib/python3.7/dist-packages/jax/_src/api.py in
> _check_scalar(x)
>     894     if isinstance(aval, ShapedArray):
>     895       if aval.shape != ():
> --> 896         raise TypeError(msg(f"had shape: {aval.shape}"))
>     897     else:
>     898       raise TypeError(msg(f"had abstract value {aval}"))

> TypeError: Gradient only defined for scalar-output functions. Output had shape: (100,).
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