mustache syntax({{ obj.name }}) を使用するテンプレートを作成しましたが、その構文に入力するデータがありません。
コンポーネントが作成され、しばらくしてから API リクエストが行われると、コンポーネント データ (vm._data[obj] = {name: 'test'}) に更新している情報を取得します。
この場合、(vue コンポーネントを開始している間) テンプレートを設定するためにデータをすぐに利用できないため、データを取得して更新した後でも、テンプレートは更新されません。