P（x）が問題の多項式を表すとします。Pの最小不動点（LFP）は、x = P（x）となるようなxの最小値です。多項式には実数の係数があります。一般にLFPが存在するという保証はありませんが、次数が奇数で3以上の場合に存在することが保証されます。次数が3の場合、効率的な解を知っています。x= P（x）したがって0 = P（ x）-x。閉じた形式の3次公式があり、xの解法はやや自明であり、ハードコーディングできます。度2と1も同様に簡単です。任意の程度の優れたアルゴリズムを思い付くことができないように思われるため、私が問題を抱えているのはより複雑なケースです。
編集：
私は実際の固定小数点のみを考慮し、それらの中で最小のものを取ります。必ずしも絶対値が最小の固定点である必要はありません。
f(x) = P(x) - xお気に入りの数値解法を使って解くだけです。たとえば、繰り返すことができます
x_{n + 1} = x_n - P(x_n) / (P'(x_n) - 1).
5次以上の多項式の閉形式の式がないため、一般に閉形式の式は見つかりません。したがって、5次以上の場合は、ある種の数値的方法を使用する必要があります。
最小不動点が必要なので、P（x）-xのすべての実根を見つけて、最小のものを選択しないと逃げることはできません。
多項式のすべての根を見つけることは難しい主題です。ブラックボックスルーチンがある場合は、必ずそれを使用してください。それ以外の場合は、次のトリックを検討してください。
ただし、これには固有値を見つけるためのルーチンにアクセスできる必要があります（これは別のトリッキーな問題ですが、優れたライブラリはたくさんあります）。
それ以外の場合は、非常に重要なコードであるJenkins-Traubアルゴリズムを実装できます。
ゼロを見つけて（たとえばニュートン法で）、次数1に達するまで収縮することは、あまりお勧めしません。適切に行わないと非常に不安定になり、精度が大幅に低下します（そして取り組むのが非常に困難です）。それを持つ複数のルーツ）。それを行う適切な方法は、実際には上記のJenkins-Traubアルゴリズムです。