java - BigDecimal の対数

Question

BigDecimal の対数を計算するにはどうすればよいですか? 私が使用できるアルゴリズムを知っている人はいますか?

これまでの私のグーグル検索では、単純に double に変換して Math.log を使用するという (役に立たない) アイデアが思いつきました。

必要な回答の精度を提供します。

編集：どのベースでも構いません。ベースxの方が簡単なら、そうします。

score 26 · Accepted Answer

Java Number Cruncher: The Java Programmer's Guide to Numerical Computingは、ニュートン法を使用したソリューションを提供します。本のソースコードは、こちらから入手できます。以下は、第12.5 章 Big Decimal Functions (p330 & p331) からの抜粋です。

/**
 * Compute the natural logarithm of x to a given scale, x > 0.
 */
public static BigDecimal ln(BigDecimal x, int scale)
{
    // Check that x > 0.
    if (x.signum() <= 0) {
        throw new IllegalArgumentException("x <= 0");
    }

    // The number of digits to the left of the decimal point.
    int magnitude = x.toString().length() - x.scale() - 1;

    if (magnitude < 3) {
        return lnNewton(x, scale);
    }

    // Compute magnitude*ln(x^(1/magnitude)).
    else {

        // x^(1/magnitude)
        BigDecimal root = intRoot(x, magnitude, scale);

        // ln(x^(1/magnitude))
        BigDecimal lnRoot = lnNewton(root, scale);

        // magnitude*ln(x^(1/magnitude))
        return BigDecimal.valueOf(magnitude).multiply(lnRoot)
                    .setScale(scale, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
}

/**
 * Compute the natural logarithm of x to a given scale, x > 0.
 * Use Newton's algorithm.
 */
private static BigDecimal lnNewton(BigDecimal x, int scale)
{
    int        sp1 = scale + 1;
    BigDecimal n   = x;
    BigDecimal term;

    // Convergence tolerance = 5*(10^-(scale+1))
    BigDecimal tolerance = BigDecimal.valueOf(5)
                                        .movePointLeft(sp1);

    // Loop until the approximations converge
    // (two successive approximations are within the tolerance).
    do {

        // e^x
        BigDecimal eToX = exp(x, sp1);

        // (e^x - n)/e^x
        term = eToX.subtract(n)
                    .divide(eToX, sp1, BigDecimal.ROUND_DOWN);

        // x - (e^x - n)/e^x
        x = x.subtract(term);

        Thread.yield();
    } while (term.compareTo(tolerance) > 0);

    return x.setScale(scale, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
}

/**
 * Compute the integral root of x to a given scale, x >= 0.
 * Use Newton's algorithm.
 * @param x the value of x
 * @param index the integral root value
 * @param scale the desired scale of the result
 * @return the result value
 */
public static BigDecimal intRoot(BigDecimal x, long index,
                                 int scale)
{
    // Check that x >= 0.
    if (x.signum() < 0) {
        throw new IllegalArgumentException("x < 0");
    }

    int        sp1 = scale + 1;
    BigDecimal n   = x;
    BigDecimal i   = BigDecimal.valueOf(index);
    BigDecimal im1 = BigDecimal.valueOf(index-1);
    BigDecimal tolerance = BigDecimal.valueOf(5)
                                        .movePointLeft(sp1);
    BigDecimal xPrev;

    // The initial approximation is x/index.
    x = x.divide(i, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);

    // Loop until the approximations converge
    // (two successive approximations are equal after rounding).
    do {
        // x^(index-1)
        BigDecimal xToIm1 = intPower(x, index-1, sp1);

        // x^index
        BigDecimal xToI =
                x.multiply(xToIm1)
                    .setScale(sp1, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);

        // n + (index-1)*(x^index)
        BigDecimal numerator =
                n.add(im1.multiply(xToI))
                    .setScale(sp1, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);

        // (index*(x^(index-1))
        BigDecimal denominator =
                i.multiply(xToIm1)
                    .setScale(sp1, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);

        // x = (n + (index-1)*(x^index)) / (index*(x^(index-1)))
        xPrev = x;
        x = numerator
                .divide(denominator, sp1, BigDecimal.ROUND_DOWN);

        Thread.yield();
    } while (x.subtract(xPrev).abs().compareTo(tolerance) > 0);

    return x;
}

/**
 * Compute e^x to a given scale.
 * Break x into its whole and fraction parts and
 * compute (e^(1 + fraction/whole))^whole using Taylor's formula.
 * @param x the value of x
 * @param scale the desired scale of the result
 * @return the result value
 */
public static BigDecimal exp(BigDecimal x, int scale)
{
    // e^0 = 1
    if (x.signum() == 0) {
        return BigDecimal.valueOf(1);
    }

    // If x is negative, return 1/(e^-x).
    else if (x.signum() == -1) {
        return BigDecimal.valueOf(1)
                    .divide(exp(x.negate(), scale), scale,
                            BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }

    // Compute the whole part of x.
    BigDecimal xWhole = x.setScale(0, BigDecimal.ROUND_DOWN);

    // If there isn't a whole part, compute and return e^x.
    if (xWhole.signum() == 0) return expTaylor(x, scale);

    // Compute the fraction part of x.
    BigDecimal xFraction = x.subtract(xWhole);

    // z = 1 + fraction/whole
    BigDecimal z = BigDecimal.valueOf(1)
                        .add(xFraction.divide(
                                xWhole, scale,
                                BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN));

    // t = e^z
    BigDecimal t = expTaylor(z, scale);

    BigDecimal maxLong = BigDecimal.valueOf(Long.MAX_VALUE);
    BigDecimal result  = BigDecimal.valueOf(1);

    // Compute and return t^whole using intPower().
    // If whole > Long.MAX_VALUE, then first compute products
    // of e^Long.MAX_VALUE.
    while (xWhole.compareTo(maxLong) >= 0) {
        result = result.multiply(
                            intPower(t, Long.MAX_VALUE, scale))
                    .setScale(scale, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
        xWhole = xWhole.subtract(maxLong);

        Thread.yield();
    }
    return result.multiply(intPower(t, xWhole.longValue(), scale))
                    .setScale(scale, BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
}

score 9 · Accepted Answer

大きな数に対してうまく機能するハックで小さなアルゴリズムは、関係を使用しlog(AB) = log(A) + log(B)ます。基数 10 でそれを行う方法は次のとおりです (他の対数基数に簡単に変換できます)。

答えの小数点以下の桁数を数えます。これは、対数の不可欠な部分に1 を加えたものです。例: floor(log10(123456)) + 1123456 は 6 桁なので、6 です。
対数の整数部分だけが必要な場合は、ここで終了できます。手順 1 の結果から 1 を引くだけです。
対数の小数部分を取得するには、数値をで割り、その対数10^(number of digits)をを使用して計算しmath.log10()(またはその他のものを使用します。他に何も利用できない場合は、単純な級数近似を使用します)、整数部分に追加します。例: の小数部分を取得するにはlog10(123456)、を計算math.log10(0.123456) = -0.908...し、それをステップ 1 の結果に追加し6 + -0.908 = 5.092ますlog10(123456)。基本的に、大きな数の前に小数点を追加しているだけであることに注意してください。あなたのユースケースでこれを最適化する良い方法がおそらくあり、本当に大きな数の場合、すべての桁を取得することさえ気にする必要はありませlog10(0.123)んlog10(0.123456789).

score 7 · Accepted Answer

これは超高速です。理由は次のとおりです。

いいえtoString()
数学なしBigInteger(ニュートン/連分数)
新しいものをインスタンス化することすらありませんBigInteger
固定数の非常に高速な操作のみを使用します

1 回の呼び出しには約 20 マイクロ秒かかります (1 秒あたり約 5 万回の呼び出し)。

しかし：

のみ動作しますBigInteger

回避策BigDecimal(速度はテストされていません):

値が > 2^53 になるまで小数点をシフトします
使用toBigInteger()(div内部で使用)

このアルゴリズムは、対数が指数と仮数の対数の合計として計算できるという事実を利用します。例えば：

12345 は 5 桁なので、底 10 の対数は 4 から 5 の間です。 log(12345) = 4 + log(1.2345) = 4.09149... (底 10 の対数)

占有ビット数を見つけるのは簡単なので、この関数は 2 を底とする対数を計算します。

public double log(BigInteger val)
{
    // Get the minimum number of bits necessary to hold this value.
    int n = val.bitLength();

    // Calculate the double-precision fraction of this number; as if the
    // binary point was left of the most significant '1' bit.
    // (Get the most significant 53 bits and divide by 2^53)
    long mask = 1L << 52; // mantissa is 53 bits (including hidden bit)
    long mantissa = 0;
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < 54; i++)
    {
        j = n - i;
        if (j < 0) break;

        if (val.testBit(j)) mantissa |= mask;
        mask >>>= 1;
    }
    // Round up if next bit is 1.
    if (j > 0 && val.testBit(j - 1)) mantissa++;

    double f = mantissa / (double)(1L << 52);

    // Add the logarithm to the number of bits, and subtract 1 because the
    // number of bits is always higher than necessary for a number
    // (ie. log2(val)<n for every val).
    return (n - 1 + Math.log(f) * 1.44269504088896340735992468100189213742664595415298D);
    // Magic number converts from base e to base 2 before adding. For other
    // bases, correct the result, NOT this number!
}

score 4 · Accepted Answer

これは私が思いついたものです：

//http://everything2.com/index.pl?node_id=946812        
public BigDecimal log10(BigDecimal b, int dp)
{
    final int NUM_OF_DIGITS = dp+2; // need to add one to get the right number of dp
                                    //  and then add one again to get the next number
                                    //  so I can round it correctly.

    MathContext mc = new MathContext(NUM_OF_DIGITS, RoundingMode.HALF_EVEN);

    //special conditions:
    // log(-x) -> exception
    // log(1) == 0 exactly;
    // log of a number lessthan one = -log(1/x)
    if(b.signum() <= 0)
        throw new ArithmeticException("log of a negative number! (or zero)");
    else if(b.compareTo(BigDecimal.ONE) == 0)
        return BigDecimal.ZERO;
    else if(b.compareTo(BigDecimal.ONE) < 0)
        return (log10((BigDecimal.ONE).divide(b,mc),dp)).negate();

    StringBuffer sb = new StringBuffer();
    //number of digits on the left of the decimal point
    int leftDigits = b.precision() - b.scale();

    //so, the first digits of the log10 are:
    sb.append(leftDigits - 1).append(".");

    //this is the algorithm outlined in the webpage
    int n = 0;
    while(n < NUM_OF_DIGITS)
    {
        b = (b.movePointLeft(leftDigits - 1)).pow(10, mc);
        leftDigits = b.precision() - b.scale();
        sb.append(leftDigits - 1);
        n++;
    }

    BigDecimal ans = new BigDecimal(sb.toString());

    //Round the number to the correct number of decimal places.
    ans = ans.round(new MathContext(ans.precision() - ans.scale() + dp, RoundingMode.HALF_EVEN));
    return ans;
}

score 4 · Accepted Answer

を使用して分解できます

log(a * 10^b) = log(a) + b * log(10)

基本的b+1には、数値の桁数になり、a通常の算術演算を使用して対数を計算できる 0 から 1 の間の値になりますdouble。

または、使用できる数学的トリックがあります。たとえば、1 に近い数値の対数は、級数展開によって計算できます。

ln(x + 1) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

対数を取ろうとしている数の種類によっては、このようなものを使用できる場合があります。

EDIT : 10 を底とする対数を取得するには、自然対数をで割るln(10)か、他の底を同様に割ることができます。

score 3 · Accepted Answer

いくつかの数値でテストした Meower68 疑似コードの Java 実装:

public static BigDecimal log(int base_int, BigDecimal x) {
        BigDecimal result = BigDecimal.ZERO;

        BigDecimal input = new BigDecimal(x.toString());
        int decimalPlaces = 100;
        int scale = input.precision() + decimalPlaces;

        int maxite = 10000;
        int ite = 0;
        BigDecimal maxError_BigDecimal = new BigDecimal(BigInteger.ONE,decimalPlaces + 1);
        System.out.println("maxError_BigDecimal " + maxError_BigDecimal);
        System.out.println("scale " + scale);

        RoundingMode a_RoundingMode = RoundingMode.UP;

        BigDecimal two_BigDecimal = new BigDecimal("2");
        BigDecimal base_BigDecimal = new BigDecimal(base_int);

        while (input.compareTo(base_BigDecimal) == 1) {
            result = result.add(BigDecimal.ONE);
            input = input.divide(base_BigDecimal, scale, a_RoundingMode);
        }

        BigDecimal fraction = new BigDecimal("0.5");
        input = input.multiply(input);
        BigDecimal resultplusfraction = result.add(fraction);
        while (((resultplusfraction).compareTo(result) == 1)
                && (input.compareTo(BigDecimal.ONE) == 1)) {
            if (input.compareTo(base_BigDecimal) == 1) {
                input = input.divide(base_BigDecimal, scale, a_RoundingMode);
                result = result.add(fraction);
            }
            input = input.multiply(input);
            fraction = fraction.divide(two_BigDecimal, scale, a_RoundingMode);
            resultplusfraction = result.add(fraction);
            if (fraction.abs().compareTo(maxError_BigDecimal) == -1){
                break;
            }
            if (maxite == ite){
                break;
            }
            ite ++;
        }

        MathContext a_MathContext = new MathContext(((decimalPlaces - 1) + (result.precision() - result.scale())),RoundingMode.HALF_UP);
        BigDecimal roundedResult = result.round(a_MathContext);
        BigDecimal strippedRoundedResult = roundedResult.stripTrailingZeros();
        //return result;
        //return result.round(a_MathContext);
        return strippedRoundedResult;
    }

score 3 · Accepted Answer

必要なのは、使用できる数の 10 のべき乗を見つけることだけである場合:

public int calculatePowersOf10(BigDecimal value)
{
    return value.round(new MathContext(1)).scale() * -1;
}

score 2 · Accepted Answer

対数を計算するための疑似コードアルゴリズム。

x の log_n が必要であると仮定します。

double fraction, input;
int base;
double result;

result = 0;
base = n;
input = x;

while (input > base){
  result++;
  input /= base;
}
fraction = 1/2;
input *= input;   

while (((result + fraction) > result) && (input > 1)){
  if (input > base){
    input /= base;
    result += fraction;
  }
  input *= input;
  fraction /= 2.0;
 }

大きな while ループは少し混乱するかもしれません。

各パスで、入力を 2 乗するか、ベースの平方根を取ることができます。いずれにせよ、分数を 2 で除算する必要があります。入力を 2 乗し、基数をそのままにしておくと、より正確になります。

入力が 1 になれば終了です。任意のベースの 1 の対数は 0 です。これは、これ以上追加する必要がないことを意味します。

(結果 + 分数) が結果より大きくない場合は、番号付けシステムの精度の限界に達しています。私たちは立ち止まることができる。

明らかに、任意の桁数の精度を持つシステムで作業している場合は、ループを制限するために何か他のものをそこに入れたいと思うでしょう。

score 1 · Accepted Answer

古い質問ですが、実際にはこの答えが望ましいと思います。精度が高く、事実上あらゆるサイズの引数をサポートします。

private static final double LOG10 = Math.log(10.0);

/**
 * Computes the natural logarithm of a BigDecimal 
 * 
 * @param val Argument: a positive BigDecimal
 * @return Natural logarithm, as in Math.log()
 */
public static double logBigDecimal(BigDecimal val) {
    return logBigInteger(val.unscaledValue()) + val.scale() * Math.log(10.0);
}

private static final double LOG2 = Math.log(2.0);

/**
 * Computes the natural logarithm of a BigInteger. Works for really big
 * integers (practically unlimited)
 * 
 * @param val Argument, positive integer
 * @return Natural logarithm, as in <tt>Math.log()</tt>
 */
public static double logBigInteger(BigInteger val) {
    int blex = val.bitLength() - 1022; // any value in 60..1023 is ok
    if (blex > 0)
        val = val.shiftRight(blex);
    double res = Math.log(val.doubleValue());
    return blex > 0 ? res + blex * LOG2 : res;
}

コアロジック（メソッド）は、 this other answer of minelogBigIntegerからコピーされます。

score 1 · Accepted Answer

私はこれとまったく同じものを探していましたが、最終的には継続的な分数アプローチを採用しました. 連分数は、ここまたはここで見つけることができます

コード：

import java.math.BigDecimal;
import java.math.MathContext;

public static long ITER = 1000;
public static MathContext context = new MathContext( 100 );
public static BigDecimal ln(BigDecimal x) {
    if (x.equals(BigDecimal.ONE)) {
        return BigDecimal.ZERO;
    }

    x = x.subtract(BigDecimal.ONE);
    BigDecimal ret = new BigDecimal(ITER + 1);
    for (long i = ITER; i >= 0; i--) {
    BigDecimal N = new BigDecimal(i / 2 + 1).pow(2);
        N = N.multiply(x, context);
        ret = N.divide(ret, context);

        N = new BigDecimal(i + 1);
        ret = ret.add(N, context);

    }

    ret = x.divide(ret, context);
    return ret;
}

java - BigDecimal の対数

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Reference