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DSolve を使用して mathematica で線形重調和方程式を解こうとしています。この問題は重調和方程式に限ったことではないと思いますが、MATHEMATICA は解こうとすると方程式を吐き出すだけです。

他の偏微分方程式も解いてみましたが問題ありませんでした。

重調和方程式は次のとおりです。

Laplacian^2[f]=0

これが私の方程式です：

DSolve[
 D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] + 
   D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
 f,
 {x, y}]

解決策は次のように吐き出されます

DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]

それは明らかに解決策ではありません。何を与える？私は何が欠けていますか？境界条件なしで他の偏微分方程式を解きました。

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極座標で試してみませんか？f(r, \[Theta])が azimuth に関して対称である場合\[Theta]、重調和方程式は Mathematca がシンボリックに解くことができるものになります ( http://mathworld.wolfram.com/BiharmonicEquation.htmlを参照)。

In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm

Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
                           + f'(r))/r^3

In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r}, 
                 1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r] 
                   + 1/2 r^2 C[3] Log[r]
                ]}}

In[25]:= ReplaceAll[
    1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
    r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+ 
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]
于 2011-10-18T18:51:00.797 に答える