以下では、2 番目のステートメントが 4 番目のステートメントとどう違うのかわかりません。
21 が自然数であることは、2 が自然数であることを証明できるのと同じ方法で証明できると思います。
2 番目のステートメントは証明でき、4 番目のステートメントは証明できない理由、またはそれらの違いを説明してください。ありがとうございました。
次の英語のステートメントは論理ステートメントです。
- 0は自然数
- 2は自然数
- すべてのxについて、xが自然数の場合、 x の後継者も自然数です。
- 21は自然数
述語計算:
natural(0).
natural(2).
For all x, natural(x) → natural(successor(x))
natural(21).
これらの論理ステートメントのうち、1 番目と 3 番目のステートメントは、自然数の公理と見なすことができます。これは、真であると想定され、自然数に関するすべての真のステートメントを証明できるステートメントです。2 番目のステートメントは次のように証明できます。
2 = successor(successor(0)) and natural(0) → natural(sucessor(0)) → natural(successor(successor(0))).
一方、4 番目のステートメントは、公理からは証明できないため、誤りであると見なすことができます。