先頭ビットだけではありません。それはすべてのビットについてです。
追加から開始
まず、2 + 7 の 4 ビット バイナリで加算がどのように行われるかを見てみましょう。
10 +
111
____
1001
これは、10 進数での長い加算と同じです。ビットごと、右から左です。
- 右端に 0 と 1 を足すと 1 になり、キャリーはありません。
- 右から 2 番目に 1 と 1 を足すと、10 進数で 2、2 進数で 10 になります。0 を書き、1 を繰り上げます。
- 右から 3 番目に、既にある 1 に運んだ 1 を追加すると、2 進数の 10 になります。0 を書き、1 を運びます。
- 運ばれたばかりの 1 は、右から 4 番目に書き込まれます。
ロング減算
これで、2 進数の 10 + 111 = 1001 がわかったので、逆算して 1001 - 10 = 111 であることを証明できるはずです。
1001 -
10
____
111
これが私たちがしたことであり、再び右から左に作業しています:
- 一番右の 1 - 0 = 1 に、それを書き留めます。
- 2 番目に 0 - 1 があるので、余分なビットを借りる必要があります。ここでバイナリ 10 - 1 を実行すると、1 が残ります。これを書き留めます。
- 3 番目に、余分なビットを借りたことを思い出してください。つまり、ここでも 0 - 1 です。同じトリックを使用して、余分なビットを借りて、10 - 1 = 1 を得て、結果の 3 番目に配置します。
- 4 番目に、対処すべき借用ビットがあります。すでにある 1 から借りたビットを引きます: 1 - 1 = 0. 結果の前にこれを書き留めることができますが、それは引き算の終わりなので、その必要はありません。
ゼロ未満の数字がある!?
負の数についてどのように学んだか覚えていますか? アイデアの一部は、他の任意の数値から任意の数値を減算しても、数値を取得できるということです。したがって、7 - 5 は 2 です。6 - 5 は 1 です。5 - 5 は 0 です。4 - 5 とは何ですか? そのような数について推論する 1 つの方法は、単純に上記と同じ方法を適用して減算を行うことです。
例として、バイナリで 2 - 7 を試してみましょう:
10 -
111
_______
...1011
私は以前と同じ方法で始めました：
- 一番右の場所で、0 から 1 を引きます。これには借用ビットが必要です。10 - 1 = 1 なので、結果の最後のビットは 1 です。
- 右から 2 番目の場所では、1 - 1 に余分な借用ビットがあるため、さらに 1 を引く必要があります。これは、11 - 1 - 1 = 1 を与えるために、独自のビットを借用する必要があることを意味します。右から 2 番目のスポット。
- 3位はトップナンバーにもうビットがありません！しかし、一番下の数字のビットがなくなった場合と同じように、前に 0 があるふりをすることができることはわかっています。したがって、2 番目からのボロー ビットにより、0 - 1 - 1 になります。また少し借りなきゃ！とにかく、10 - 1 - 1 = 0 で、右から 3 番目に書き留めます。
ここで、非常に興味深いことが起こりました。減算の両方のオペランドの桁数がなくなりましたが、まだボロー ビットを処理する必要があります。ま、これまで通りやっていきましょう。上部オペランドと下部オペランドのどちらにもビットがないため、0 - 0 になりますが、ボロー ビットがあるため、実際には 0 - 1 です。
（また借りなきゃ！ このまま借り続けたら、もうすぐ破産宣告しなきゃいけない。）
とにかく、ビットを借りると、10 - 1 = 1 になり、右から 4 番目に書きます。
今、半分の心を持つ人は、牛が家に帰るまでビットを借り続けようとしていることを理解しようとしています。忘れていたら、2 か所前にそれらを使い果たしました。しかし、続けようとすると、次のようになります。
...00000010
...00000111
___________
...11111011
- 5 番目に 0 - 0 - 1 を取得し、少し借りて 10 - 0 - 1 = 1 を取得します。
- 6 番目に 0 - 0 - 1 を取得し、少し借りて 10 - 0 - 1 = 1 を取得します。
- 7 番目に 0 - 0 - 1 を取得し、少し借りて 10 - 0 - 1 = 1 を取得します。
...そして、好きなだけ多くの場所で続けます。 ところで、-5 の 2 の補数バイナリ形式を導き出したところです。
好きな数値のペアに対してこれを試して、任意の負の数値の 2 の補数形式を生成できます。0 - 1 を実行しようとすると、-1 が として表される理由がわかります...11111111。また、すべての 2 の補数の負の数の最上位ビット (元の質問の「先行ビット」) が 1 である理由も理解できます。
実際には、コンピューターには負の数を格納するためのビットが無数にあるわけではないため、通常は 32 などのより適切な数の後に停止します。位置 33 の余分な借用ビットをどうするか ええ、私たちは静かにそれを無視し、誰も気付かないことを願っています. 新しい数値システムが機能しないことに気付いた人は、整数オーバーフローと呼びます。
最終的な注意事項
もちろん、これが番号システムを機能させる唯一の方法ではありません。結局のところ、私があなたに 5 ドル借りていたとしても、あなたと私との現在の残高が 999999995 ドルだったとは言えません。
しかし、導き出したばかりのシステムにはいくつかの優れた点があります。たとえば、このシステムでは、数値の 1 つが負であるという事実を無視しても、減算によって正しい結果が得られるという事実です。通常、条件付きステップで減算を考える必要があります: 2 - 7 を計算するには、まず 2 が 7 より小さいことを把握する必要があるため、代わりに 7 - 2 = 5 を計算してから、前にマイナス記号を付けます2 - 7 = -5 を取得します。しかし、2 の補数では、引き算を先に進めるだけで、どちらの数が大きいかは気にせず、正しい結果が自然に出てきます。また、他の人は、足し算がうまく機能し、掛け算もうまく機能すると述べています。