matrix - 逆行列式の行列式

Question

コレスキー分解を使用して、行列の逆行列式を計算するにはどうすればよいですか。行列式を直接計算するのは良い考えではないことがわかりました。それで、誰かがいくつかの洞察を提供できますか？

Answer 1

コレスキー分解（A = L * L_t）がすでにある場合は、次のようになります。

det(A) = det(L) * det(L_t) = sqr(det(L))

L行列は下三角行列であるため、その行列式は対角要素の積です。

コレスキー分解はO（n ^ 3）演算を取り、Lの対角要素の積はO（n）のみです。ガウスの消去法（Aを三角行列に変換）はO（n ^ 3）を取り、数値的な問題が発生する可能性があります。

最後に、det（inv（A））= 1 / det（A）。

Answer 2

det(A) = product(eigenvalues(A)) = product(diagonal(choleskyFactorization(A)))^2

たとえば、AMatlab / Octaveで行列式を計算するには、を使用できますprod(diag(chol(A)))^2。これは、Matlab構文の上記の方程式の右辺です。