上記の質問の解決策を得ました。私が間違っていたのは、次のように、必要なProfileField情報の引数を渡さなければならないということでした。
final Set<ProfileField> connectionFields = EnumSet.of(ProfileField.ID, ProfileField.MAIN_ADDRESS,
ProfileField.PHONE_NUMBERS, ProfileField.LOCATION,
ProfileField.LOCATION_COUNTRY, ProfileField.LOCATION_NAME,
ProfileField.FIRST_NAME, ProfileField.LAST_NAME, ProfileField.HEADLINE,
ProfileField.INDUSTRY, ProfileField.CURRENT_STATUS,
ProfileField.CURRENT_STATUS_TIMESTAMP, ProfileField.API_STANDARD_PROFILE_REQUEST,
ProfileField.EDUCATIONS, ProfileField.PUBLIC_PROFILE_URL, ProfileField.POSITIONS,
ProfileField.LOCATION, ProfileField.PICTURE_URL);
Connections connections = client.getConnectionsForCurrentUser(connectionFields);