空間補間のすべての実際的な例は、導関数を推定するために追加の周囲の点をサンプリングすることによって作業を見つけることができました。しかし、導関数がすでにわかっている場合、および既知の点の中心にある単一の点の値（および導関数）のみが必要な場合は、より簡単な方法がありますか？
説明のために：ポイント、、、のそれぞれについて、、、、、(1, 1)および(-1, 1)—を(-1, -1)知って(1, -1)いてf(x, y)、、、、、、およびの補間値が必要であるとします。f'(x)f''(x)f'(y)f''(y)(0, 0)f(x, y)f'(x)f''(x)f'(y)f''(y)
まず第一に、提起された問題は意味がありません。多変数微積分では、導関数はなく、偏導関数があります。それらの多く。
角に値、第1偏導関数、第2偏導関数があるとします。したがって、各コーナーで、値、xによる部分、yによる部分、xによるxによる2番目の部分、yによるxによる2番目の部分、yによるyによる2番目の部分の値がわかります。コーナーごとに6個のデータがあり、合計24個のデータがあります。
次に、これを適切な多項式に適合させようとします。24用語、つまり、a0 + a1 x + a2 y + a3 x^2 + a4 x y + a5 y^2 + a6 x^3 + a7 x^2 y + a8 x y^2 + a9 y^3 + a10 x^4 + a11 x^3 y + a12 x^2 y^2 + a13 x y^3 + a14 y^4 + a15 x^5 + a16 x^4 y + a17 x^3 y^2 + a18 x^2 y^3 + a18 x y^4 + a19 y^5 + a20 x^6 + a21 x^4 y^2 + a22 x^2 y^4 + a23 y^6。（私はその24の制限に達していたので、いくつかの6番目の電力項を省略しなければなりませんでした。）
それを計算すると、これらの値のすべてをそれらのすべての点と照合すると、24個の変数で24個の方程式が得られます。解くと、使用するすべての係数が得られます。値をプラグインする(0, 0)と、補間ができます。
率直で退屈で、気の弱い人向けではありません。