なぜこれは0バイトのファイルを出力するのですか？
<?php
$jsonurl = "http://do.convertapi.com/Web2Pdf/json/?curl=http://stackoverflow.com/";
$json = file_get_contents($jsonurl,0,null,null);
$json_output = json_decode($json);
file_put_contents('converted.pdf', $json_output);
?>
$ json_outputはオブジェクトですが、file_put_contentsは文字列または配列のみを受け入れます
次のことを行う必要があると思います：
file_put_contents('converted.pdf', base64_decode($json_output->File));
実際に行ったことは、JSON データを取得し、それを PHP オブジェクトにデコードしたことです。そのオブジェクトから「ファイル」プロパティの内容を取得し、ファイルに入れる必要があります。