CTマルコフ過程を解くにはどのような方法がありますか?
出生死やいくつかのキューなどの既知のプロセスについては、問題を分析的に解決できることを知っていますか? しかし、解析的に解けない場合はどうやって解くのでしょうか?
数値法を使用する必要があるようです。ただし、それをサポートするツールはまだ見つかりません。MATLABにはodeメソッドがありますが、（常微分方程式）プロセスのodeを設定することに加えて、matlabがサポートしていない線形方程式を追加する必要がありますか?
これらの問題を解決するには？
ツールやその他の方法はありますか？
物理科学者が連続時間マルコフ過程に使用する標準的な参考文献をざっと見てみるとよいでしょう。NG van Kampen の物理学と化学における確率過程は、包括的で読みやすい治療法です。Gardiner's Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciencesもよく使われる参考文献です。これらはどちらも、確率過程を解くための解析解と摂動法の両方を提示します。
状態が離散的である (または離散的に近似できる) 場合は、モンテカルロ サンプリング法を使用して軌道のアンサンブルを構築できます。このためのより良い参考文献の 1 つは、Barkema と Newman のMonte Carlo Methods in Statistical Physicsです。これには、スピン システムの優れた例があり、いくつかのアルゴリズムが示されています。また、 Gillespie AlgorithmおよびKinetic Monte Carloに関する文献には、かなりの読みやすい資料があります。
プロセスがランジュバン方程式として定式化されている場合、または同様に埋め込まれたウィーナープロセスが含まれている場合は、確率微分方程式 (SDE) を統合する手法を検討する必要があります。いくつかの良い参考文献を含むかなり最近の論文Algorithms for Brownian dynamics computer Simulations: Multivariable case by Brańka and Heyes.
CT マルコフ過程をFokker-Planck 方程式として定式化できる場合、Risken のThe Fokker-Planck Equation: Methods of Solutions and Applicationsは、分析ソリューションを探すのに最適な場所です。フォッカー・プランク方程式は、拡散-移流方程式に非常に似ており、同様に数値 PDE 手法を適用できます。
これらのアルゴリズムのほとんどは、かなり簡単に実装できます。直接モンテカルロ法は非常に簡単に記述できます。連続時間モンテカルロは、もう少し複雑です。SDE の積分は、ルンゲクッテ積分またはベルレット積分を書くのと同じくらい複雑で、多くの場合、フォッカー プランク方程式を数値的に積分するよりも簡単ですが、常にそうとは限りません。