ユニオンクエリを使用して、次のように必要なものを取得できます。
select
    F1 as m
from 
    tableName
where
    F1 like '%m%'
union all
select
    F2 as m
from 
    tableName
where
    F2 like '%m%'
編集:これにより、以下に示すように重複が自動的に削除されます。
mysql> select * from first;
+------+-------+
| id   | title |
+------+-------+
|    1 | aaaa  |
|    2 | bbbb  |
|    3 | cccc  |
|    4 | NULL  |
|    6 | ffff  |
+------+-------+
5 rows in set (0.00 sec)
mysql> select * from first union select * from first;
+------+-------+
| id   | title |
+------+-------+
|    1 | aaaa  |
|    2 | bbbb  |
|    3 | cccc  |
|    4 | NULL  |
|    6 | ffff  |
+------+-------+
5 rows in set (0.00 sec)