IE9 の :target セレクターを使用する可能性があります。あなたの例では、div.button を a.button に置き換えます。

   <a href="#basket-container" class="button">Shopping Basket</a>

アンカーを div.basket-container に追加します。

<div class="basket-container" id="basket-container">
...
</div>

次に、:target セレクターを使用してドロップダウンを開きます。

.head-basket .basket-container:target {
    background: #fff;
    display: block;
}

http://jsfiddle.net/HssXt/10/

http://www.quirksmode.org/css/contents.html#t316

ただし、このターゲットからハッシュを削除するには、追加の閉じるボタンが必要になります。この場合でも、IE8 以下では解決策が得られません。

だから、それは避けられない。JS を使用して「アクティブな」クラスを追加するか、select をテキスト入力に置き換えます。

考慮すべきもう1つのことは、ドロップダウンからその選択入力をまったく削除することです。カートのドロップダウンで数量を変更することは、私には非常にまれなユースケースのようです。いずれにせよ、その機能はチェックアウト ページに表示されるので (そうなりますか?)、インターフェイスを簡素化すると同時に問題を解決できます。